| 研究概要 |
本年度は,peaking solutionを持つような非線形項がsupercriticalである方程式u_t-Δu^m=u^p in R^NのCauchy問題の非負解の挙動について、昨年度得られた結果を更に精密化することができた。それらを簡単に述べると次のようになる。
連続な初期値u_0(r)(r=|x|)が次の条件を満たすとする:あるα∈(2/(p-m),N)とあるC>0に対してu_0(r)r^α【less than or equal】C for r>1であり、ある正の数r_0>0があり、(i)u_0(r)はr【greater than or equal】r_0で単調減少であり、(ii)u_0(r)>0 in[0,r_0],とする。ただし、m=1の時は(ii)の条件は仮定しない。次に、u(t;u_0)を初期値がu_0(r)である方程式の解とし、t_b(u_0)、t_c(u_0)をそれぞれ、その解の爆発時間、完全爆発時間とする。この時、u(t;τu_0)(u_0(r)〓0)はτ>0の値によって次の三つの場合分類される:ある、数τ_1∈(0,∞)が存在して、(I)τ>τ_1の時t_c(τu_0)<∞.(II)τ=τ_1の時、t_b(τu_0)<∞でありt_c(τu_0)=∞であり‖u(t;τu_0)‖_∞=O(t^<-1/(p-1)>).(III)0<τ<τ_1の時、t_b(τu_0)=∞であり‖u(t;τu_0)‖_∞=O(t^<-1/(p-1)>)。
研究課題は,対流項をもつ準線形放物型方程式u_t-Δu^m+a・▽u^q=u^pの非負解の挙動について研究する事が目的であり,上の結果はa=0の場合にあたる。
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