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今年度の研究成果は主に2つの点からなる。最初は可換な写像あるいはベクトル場の標準形の存在に関してあらわれるdiophantine phenomenaの研究を通してKAM理論の改良を行なったことである。これはMath.Zeitschriftにすでに発表された。この中では可換な正則写像で原点を不変にするものの同時標準形の存在が同時Bruno条件のもとでしめされる。さらに可換なcircle mapsの同時標準形がGevrey classにおいてBruno条件のもとでしめされる。この方法をさらに発展させ、resonancesがある場合の写像およびベクトル場の同時標準形としてまとめることができる。これは現在論文を準備中である。これらの一連の研究から得られた新しい知見はポアンカレの定理あるいはSternbergの定理の可換な系に対する拡張およびSeifert予想への応用として高次元の不変トーラスの存在が証明されたことである。
2番目の点はRiemann-Hilbert分解の方法にexact WKB法の視点をいれることである。そのために、まず常微分方程式の指数定理、および原点で退化するようなフックス型偏微分方程式の可解性にRiemann-Hilbert分解の方法を適用するような改良をおこなった。この上でlarge parameterをもつような方程式の漸近解析にRiemann-Hilbert分解の方法が適用可能となるような拡張をする。この後半をさらに整備することは今年度の目的でもある。前半は論文の形にまとめられ投稿準備中である。
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