| 研究概要 |
p-ラプラシアンΔ_pを伴った複素Ginzburg-Landau方程式の初期値境界値問題(Δ_2=Δ)(CGL)_p U_t-(λ+iα)Δ_pU+(γ+iβ)|U|^<q-2>U-αU=0,t>0;U(0)=U_0 を中心に述べる.λ>0,γ>0,p【greater than or equal】2,q【greater than or equal】2である.p=2のときにも予期した以上の成果があった。λ^<-1>|α|【less than or equal】1/C^p:=2√<p-1>/(p-2),γ^<-1>|β|【less than or equal】1/C_q,U_0∈D(Δ_p)∩L^<2(q-1)>(Ω)のときの大域的強解の一意存在について発表した(9月,広島大学)後,この制限をゆるめるための計算に着手しλ^<-1>|α|【less than or equal】1/C^p,|αβ|-λγ<(|α|γ+|β|λ)/Cq,U_0∈W^<L,P>_0(Ω)∩L^q(Ω)というかなりゆるやかな制限の下で大域的強解の存在を示すことができた(一意性は出ない).更に,λ^<-1>|α|【less than or equal】1/C^p,γ^<-1>|β|【less than or equal】1/C_qという制限の下では任意のU_0∈L^2(Ω)に対して大域的強解の一意存在が示せて、t>0ではU_0∈D(Δ_p)∩L^<2(q-1)>(Ω)のときの解と同様な性質をもつことまでわかった.これは解作用素の平滑化効果を示す結果であり,(CGL)_2の場合にも知られていなかったようである.現在プレプリントの作製中である.東京理科大学での研究会(11月末)では丁度来日中のT.Cazenave,I.Shishmarevが興味を持ってくれて,プレプリントの送付を予定している.なおここに詳しく書けなかったが,投稿中のプレプリントが2つある.
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