変分的方法による非線型微分方程式の研究

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11640216
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20188288)
• 研究分担者: 柴田 徹太郎 広島大学, 総合科学部, 助教授 (90216010) ; 倉田 和浩 東京都立大学, 大学院・理学・研究科, 助教授 (10186489) ; 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656) ; 足達 慎二 早稲田大学, 理工学部, 助手 (40339685) ; 中島 主恵 東京水産大学, 水産学部, 助教授 (10318800)
• キーワード: 変分問題 / 非線型楕円型方程式 / ハミルトン系

研究概要

変分的手法により非線型微分方程式の解の存在に関する研究を行った.今年度は次のような研究成果が得られた.
研究代表者・田中はdel Pino, Felmer, Jeanjean, Dingらと共に空間非一様性をもつ特異摂動問題を扱い非線型Schrodinger方程式に対して,空間次元が1の場合非常に複雑なプロファイルをもつ解の構成を,2次元以上では非常に一般的なクラスの非線型項に対して極小点に集中する解の構成に成功した.また研究分担者・柴田は1次元sine-Gordon方程式に対する特異摂動問題を扱い,内部遷移層の詳しい解析等を行い,研究分担者・中島は1次元の一般的な双安定方程式に対する特異摂動問題を扱った.
研究分担者・大谷は部分的な対称性(partial symmetry)の下での非線型楕円型方程式の可解性の研究を行った.部分的な対称性の下でConcentration-Compactness理論の展開に成功し,チューブ状領域での解の存在問題への応用を与えた.また研究分担者・足達は昨年度の田中との共同研究の結果を方程式が対称性をもつ場合に拡張した.研究分担者・倉田はチューブ状領域の摂動をCahn-Hillard方程式に関連する変分問題に対して試み,曲がったチューブ状における存在定理等を得ることに成功した.
ハミルトン系に関しては足達・田中は2体問題をモデルとする特異性をもつハミルトン系に対する周期軌道の存在問題を考察し,特異点集合Sが体積をもつ場合に特異性がV(q)〜-1/dist(q,S)^α(α>0)と非常に弱い場合にもその存在を示し,従来よく用いられるstrong forceと呼ばれるクラスとは異なるポテンシャルのクラスにおいてもnon-collision周期軌道の存在が保証されることを示した.

研究成果

• [文献書誌] K.Nakashima, K.Tanaka: "Clustering layers and bandary layers in spatially in homogeneous phase transition problems"Ann. Inst. H. Poincare, Analyze non Lineaire. (出版予定).
• [文献書誌] S.Adachi, K.Tanaka, M.Terui: "A remark on periodic solutions of singular Hamiltonian Systems"Nonlinear Differential Equations and Applications. (出版予定).
• [文献書誌] S.Adachi, K.Tanaka: "Multiple positive solutions for nonhomogeneous elliptic equations"Nonlinear Analisis : T. M. A.. 47. 3783-3793 (2001)
• [文献書誌] S.Adachi, K.Tanaka: "Existence of positive solutions for a class of non homogeneous elliptic equations in IR^N"Nonlinear Analisis : T. M. A.. 48. 685-705 (2002)
• [文献書誌] S.Adachi: "A positive solution of nonhomegeneous elliptic in IR^N with G-invariant nonlinearity"Comm. Partial Differential Equations. (出版予定).
• [文献書誌] M.Ishiwata, M.Otani: "Concentration compactness principle at infinity with partial symmetry and its application"Nonlinear Analisis : T. M. A.. (出版予定).
• [文献書誌] T.Hashimoto, M.Ishiwata, M.Otani: "Quasilinear elliptic equations in infinite tube-shaped domains"Adv. Math. Sci. Appl.. (出版予定).
• [文献書誌] K.Kurata: "Existence of non-topological solutions for a nonlinear elliptic equation arising from chern-Simon-Higgs theory in a general"Differential and Integral Equations. 14. 925-935 (2001)
• [文献書誌] K.Kurata, M.Shibata: "On a one-dimensional variational problem related to Cahn-Hilliard energy on a strip-like domain"Nonlinear Analisis : T. M. A.. 47. 1059-1068 (2001)
• [文献書誌] T.Shibata: "Asymptotic behavior of eigenvalues for two-parameter perturbed elliptic fine-Garden type equations"Results in Math.. 39. 155-168 (2001)
• [文献書誌] T.Shibata: "Interior transition layers of solutions to the perturbed elliptic sine-Gordon equation on an interval"J. Analyre Math.. 83. 109-120 (2001)
• [文献書誌] T.Shibata: "Precise asymptotic formulas for semi linear eigenvalue problems"Ann. Henri Poincare. 2. 713-732 (2001)