| 研究概要 |
generalized Kac-Moodyリー環(GKM環)は,位数最大の散在型有限単純群であるモンスター群の(整数による次数付き)無限次元表現であるムーンシャイン加群の研究の為に,ボーチャーズにより導入された無限次元リー環の一クラスであり,Kac-Moodyリー環の自然な一般化ともなっている.私はGKM環上の,必ずしも優正形式ではないウエイトを最高ウエイトとする既約最高ウエイト表現の指標の研究を行い,最高ウエイトが"integrally dominant"な場合の指標を(最高ウエイトによって定まる部分ルート系に対応する)"integral Weyl group"によって記述する,カッツ・脇本型の指標公式を証明した.
アフィン・リー環の典型的な外部自己同型として,ディンキン図形のグラフとしての自己同型写像から誘導されるもの(diagram automorphism)がある.アフィン・リー環上の既約最高ウエイト表現をこのdiagram automorphismでtwistして得られる表現と,元の表現が同型である時,それらの表現の間のintertwining作用素が存在する.このintertwining作用素の(ウエイトによる)次数付きトレースは,"twining character"と呼ばれる.私は,このtwining characterを研究し,最高ウエイトがintegrally dominantな場合に,twining characterがintegral Weyl groupの(diagram automorphismと可換な元達の成す)部分群によって記述されるという,twining characterに関する公式を証明した.
又,特に最高ウエイトが優正形式である場合に,既約最高ウエイト表現に対するベルンシュタイン・ゲルファント・ゲルファント型の分解を用いて,上記のtwining characterに関する公式の(成立するメカニズムを良く説明している)別証明をも得た.
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