| 研究概要 |
Ωをcurvilinear polygonal domainとし、γ:[0,t_0]→R^2(ただし、t_0>0)を自分自身とは交わらない滑らかな曲線とする。0∈∂Ωを仮定する。Ωとγに次の仮定をおく。(i)γ(0)=0,γ(t_0)∈∂Ω、γ(t)∈Ω for t∈(0,t_0)。(ii)^∃S_0∈(0、t_0) s.t.γ(t)=(t,0)for t∈[0,S_0].(iii)^∃r_0>0 s.t.Ω∩{x∈R^2;|x|<r_0}={(x_1,x_2)∈R^2; |x|<r_0},x_1>0}。(iv)γintersect ∂Ω transversely at γ(t_0)。
Ω＼γ(0,t_0)の2つの連結成分のうち、点(r_0/2,±r_0/2)を含むものをΩ±とおく。ε>0に対しΩε≡Ω＼γ([ε,t_0])とし、Lεを∂Ω上でDirichlet条件、γ([ε,t_0])上でNeumann条件に従うΩε上の(-Δ)とする。また、L±を(∂Ω∩∂Ω±)上でDirichlet条件、γ(0,t_0)上でNeumann条件に従うΩ±上の(-Δ)とする。λj(ε)、λj^±をそれぞれLε、L±のj番目の固有値とし、次を仮定する。
(v)λ_1^-=λ_1^-(≡λ_0)。このとき、λ_1(ε)、λ_2(ε)のε→0とするときの漸近挙動について次の結果を得た。
定理.ある実数例 {λm、n}m【less than or equal】1、0【less than or equal】n【less than or equal】m-1(ただしλ_<1,0>>0)、{μi,j}j【less than or equal】0,i【less than or equal】2j+3が存在して、
λ_2(ε)〜λ_0+Σ<∞/m=1>Σ<m-1/n=0>λm,n ε^<2m>(logε)^n (ε→0),
λ_1(ε)〜λ_0+Σ<∞/i=3>Σ<[(i-3)/3]/j=0>μi,j ε^<2i>(loyε)^j (ε→0) が成り立つ。
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