| 研究概要 |
当該研究では,放物型方程式として,多重熱方程式および分数ベキの方程式を中心に研究を進めそれぞれ次の成果が得られた.
1.多重熱方程式
本研究ではそれまでに得られていた多重熱関数に関する平均値の定理をもとに,その優解について研究し,平均値の性質およびそれによる優解の特徴付けが得られた.また,ある種の最小値の原理を導き,それにより,解の一意性に関する定理が得られた.当初予定していた局所化と容量については残念ながら記すべき成果は得られず,今後の課題として残ることになった.
2.分数ベキの放物型方程式
いわいるリース核に対応した半群がここで扱った分数ベキの放物型方程式である.ラプラシアンの分数ベキが大域的なものであることから必然的に分数ベキの放物型方程式は局所的ではあり得ない.本研究では,調和性と平均値の性質の関係を調べることによって,分数ベキの放物型方程式の調和性が局所的に論じられることがわかった.今後はそれをもとに優調和性へと議論を進めていく予定である.また,平均値の性質の逆問題として領域の形を決定する問題があるが,帯状領域の決定に関してこれまで得られていた熱方程式の場合を拡張した結果が得られた.
以上のように,本研究ではポテンシャル論の中でも平均値の性質を中心に研究が展開されたが,最後に,その平均値の性質の逆問題に関して波動方程式への応用が得られたことを付記しておく.
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