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非線形放物型方程式u_t=Δu+|u|^<p-1>uの初期値問題の解は有限時間で爆発することも時間大域的に存在することもあるがいずれの場合にもそのゼロ点の挙動は解自身の挙動に重要な影響を与える。今年度はゼロ点の挙動をこれまでの研究結果より詳しく調べるとともに、その応用について研究を進めた。空間次元が1次元の場合、ゼロ点が有限時間で無限遠方に行かないことは昨年度の研究で証明したが、今年度は時間大域解に対してゼロ点の挙動を正確に調べその結果が最適であることを示した。また、有限時間で爆発する解に対して爆発時間までこめて解のゼロ点は無限遠方に行かないことを証明した。
また、非線形項|u|^<p-1>uの指数pがSobolevの意味でsubcriticalの場合は解の爆発について多くの結果がありその様子が非常に詳しく調べられている。しかし、supercriticalの場合についての研究結果はほとんど得られておらずまだ研究が進んでいない。supercriticalの場合はsubcriticalの場合と比べると、状況は非常に複雑でsubcriticalの場合に得られた結果と全く異なることが起こり多くの研究者の関心を集めてはいるが扱いが困難であると思われている。今年度の研究ではsupercriticalの場合にしか起こらない爆発(不完全爆発)について研究し、これまでの結果よりずっと広い初期値のクラスに対してそのような爆発が起こること、及び、その不安定性を示した。
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