| 研究概要 |
1<p<∞,p≠2とし,M_1,M_2を任意のvon Neumann 環,φ_0,ψ_0をそれぞれの上の忠実正規半有限荷重,L^p(M_1;φ_0),L^p(M_2;ψ_0)をHaagerupの構成法による非可換L^p空間,TをL^p(M_1;φ_0)からL^p(M_2;ψ_0)への全射線型等距離作用素とする.Tから,前双対空間の間に写像γ:(M_1)_*→(M_2)_*が自然に誘導され,もしγが線型であることを証明できれば,Tの構造が十分に述べられることが,これまでに分かっていた.Γの線型性を調べるため,まず連続性を調べる必要がある.M_1がσ-有限測度空間(X,*,μ)による可換von Neumann環L^∞(X,*,μ)の場合,γのL^1(X,*,μ)全体の上での連続性を,事例研究として調べた.この場合,問題は次のような写像π:L^1(X,*,μ)→L^p(X,*,μ)の連続性に帰着する.
π(f)(x)=u_f(x)・|f(x)|^<1/p>,x∈X,f∈L^1(X,*,μ),
ただし,u_f(x)=f(x)/|f(x)|, if f(x)≠0 u_f(x)=0, if f(x)=0.
今年度に行った研究によって得られた新たな知見等の成果は次のとおり:
命題
(1)πはL^1(X,*,μ)で連続である.
(2)||π(f)-π(g)||_p【less than or equal】C||f-g||_1,f,g∈L^1(X,*,μ),を満たすような正の定数Cは存在しない.
以下の諸点が今後の研究の展開に関する計画である.
●非可換なM_1に対するγの連続性.
●von Neumann 環 Mに属する部分等距離作用素元全体M_<pi>上の複素測度の線型拡張可能性.
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