フラクタル上の波動及び拡散の基礎理論の研究

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11837008
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• 研究分担者: 熊谷 隆 京都大学, 情報学研究科, 助教授 (90234509)
• キーワード: フラクタル / ラプラシアン / 熱方程式 / 自己相似集合

研究概要

(1)self-similar set上のDirichlet formのMarkov性について
楠岡-ZhouはSierpinski carpetを含むpost critically finiteとは限らないself-similar set上にself-similarなDirichlet formを構成した。しかしながら、そのDirichlet formのMarkov性を証明することは、楠岡-Zhouによるオリジナルな構成のままでは、困難であることが指摘されていた。この研究では、無限次元のconeの上の力学系の不動点定理を証明してその応用として、楠岡-Zhouの構成したDirichlet form(をmodifyしたもの)がMarkov性を持つことを証明した。
(2)p.c.f.self-similar set上のLaplacianに付随するvolume measureの自己相似性この研究ではp.c.f.self-similar set上でharmonic structureとself-similar measureから構成されるLalacianに付随するvolume measureがself-similar measureに成るための十分条件を導いた。さらにそのSierpinski gasket上のstandard Laplacianにおいて、局所化された固有関数の分布を考察することにより、その十分条件が満たされることを証明した。
(3)p.c.f.self-similar set上のLaplacianに付随するGreen関数の研究
p.c.f.self-similar set上でharmonic structureから導かれるLaplacianに付随するGreen関数の性質について研究を行った。Green関数の対角成分の近くでの値を帰納的にあたえるnear diagonal formulaと呼ばれるアルゴリズムを見いだし、このアルゴリズムを用いてGreen関数の対角成分の近くでの性質を数値的方法を併用して調べた。とくにSierpinski gasket上のstandard Laplacianの場合にGreen関数の最大値を与えた。

研究成果

• [文献書誌] Jun Kigami: "Markov property of Kusuoka-Zhou's Dirichlet forms on self-similar sets"J.Math.Sci.Univ.Tokyo. 7. 27-33 (2000)
• [文献書誌] J.Kigami & M.Lapidus: "Self-similarity of volume measures for Laplacians on p.c.f.self-similar fractals"Comm.Math.Phys.. 217. 165-180 (2001)
• [文献書誌] J.Kigami,D.Sheldon & R.Strichartz: "Green's function on fractals"Fractals. 8. 385-402 (2000)
• [文献書誌] T.Kumagai: "Transition density estimates for diffusion processes on post critically finite self-similar fractals."Proc.London Math.Soc.. 78. 431-458 (1999)
• [文献書誌] T.Kumagai: "Transition density estimates for diffusion processes on homogeneous random Sierpinski carpets."J.Math.Soc.Japan. 52. 373-408 (2000)
• [文献書誌] T.Kumagai: "Lows of the iterated logarithm for some symmetric diffusion processes."Osaka J.Math.. 37. 625-650 (2000)