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本研究は非線形可積分系を正標数体の上で考えることで、新しい研究の可能性を拓くことを目的にしており、本年度の研究計画では、法素数還元の実験・非線形可積分系の研究成果の収集を通して、法素数還元による可積分系の対称性や解の超越性を研究する方法を追求することになっていた。
研究成果の収集に関しては、非線形可積分系の離散化・方程式のmoduli空間の幾何学などに関して最新の成果を取り入れることができたが、法素数還元の実験については、具体的な結果を出すには到らなかった。しかし研究目的につながる本年度の研究成果として、非線形可積分系の一つの母体となる変形パラメターを持つ線形Pfaff系の構成、および法素数還元がうまく機能することが知られている変形を許さない線形方程式系の具体的構成方法の研究を行った。前者については、変形パラメターをうまくとることで、新しい非線形可積分系を構成することが今後の課題となる。また後者の方程式系は、逆Laplace変換を通して不確定特異点型の方程式系と対応することから、その対応を利用することで、不確定特異点における形式解の解析を法素数還元を通して行うという着想を得た。Painleve方程式やソリトン方程式など非線形可積分系で我々が扱おうとしている解は、漸近的に指数関数であったり指数関数を用いて表示されるなど、不確定特異点型のものが多く、その研究の雛形として、線形の不確定特異点型方程式系の法素数還元を用いた解析法を確立することは重要である。これは従来考えていた特異点の合流を利用する解析法とは、異なるアプローチを与えるものと考えられる。
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