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主要な研究目的の1つとして、臨界Sobolev空間または類似の臨界関数区間における関数不等式の確立を挙げた。同研究目的の基づき、平成23年度における研究成果を述べる。
1.Sobolev-Lorentz空間上のGagliardo-Nirenberg型不等式の確立
通常のSobolev空間はLebesgue空間を基礎に定義されるが、Lebesgue空間をLorentz空間に置き換えることにより、Sobolev-Lorentz空間が定義される。これにより詳しくSobolev空間の性質を測ることが可能となる。我々は臨界Sobolev-Lorentz空間に対応するGagliardo-Nirenberg型補間不等式をある意味で最適な定数とともに導出した。また、同不等式の系として対応するTrudinger-Moser型不等式及びBrezis-Gallouet-Wainger型不等式を証明することができる。この結果は現在、投稿中である。
2.重み付きTrudinger-Moserの不等式の付随した変分問題
臨界Sobolev空間を特徴づける不等式の1つとして関数の指数的可積分性を保証するTrudinger-Moserの不等式が挙げられる。我々はTanaka-Adachi(1999)で得られた全空間におけるTrudinger-Moser型不等式を最良定数と共に、重み付き不等式へ拡張することに成功した。更に、同不等式に付随した最大化問題を考察し、不等式の最良定数を達成する最大化関数の存在を証明した。最大化関数の存在は対応する指数型非線形項を伴う楕円型偏微分方程式の可解性を直ちに保証する。同研究は福島大学の石渡通徳氏との共同研究である。この結果は現在、投稿中である。
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