| 研究課題/領域番号 |
11J03919
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
大溪 正浩 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員PD
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| キーワード | 2項式辺イデアル / ヒルベルト級数 / イデアル商 |
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| 研究概要 |
本年度は2項式辺イデアルについて研究を行った。2項式辺イデアルとはグラフの各辺に対応する2項式(サイズ2×nの変数行列の小行列式)で生成されるイデアルのことで、その研究はHerzog-日比を中心とする研究グループと報告者によって独立に始められた。当面の課題は2項式辺イデアルの射影分解を構成することであり、現在の課題はその帰結として得られるヒルベルト級数を計算することである。
一般のグラフの場合には複雑過ぎて生産的とは思われないため、本年度は多角形の場合を中心に研究を行った。2項式辺イデアルは主にグラフの「連結度の強さ」を反映していると考えられ、完全他部グラフなどの辺が多いグラフほど良い性質を持つ傾向がみられる。連結度が最も弱い木の場合は帰納的に構成することが可能であり、木でないもっとも連結度の弱いグラフとして多角形について調べることは極めて重要であると考えられる。
具体的には、与えられたグラフから辺を一本除いたグラフの2項式辺イデアルと、除いた辺に対応する2項式の間のイデアル商を考察する。2項式辺イデアルの素因子はすべて明快に記述されており、素因子と2項式の関係を考えることで、イデアル商を素因子の交わりとして容易に記述できる。このイデアル商のヒルベルト級数を与えることによって、帰納的にもとのグラフのヒルベルト級数が計算できる。
現在、この方法をどの程度まで一般化することが可能か考察中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
主として本年度の研究対象が2項式辺イデアルに限られたことが挙げられる.申請者が現状最も重視している課題に取り組んだ結果であり,結果として申請書の目的の達成度は高くはないものの,研究活動そのものは順調に進展している.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の課題として、【1】2項式辺イデアルのヒルベルト級数の考察を深めること、【2】多角形の2項式辺イデアルの射影分解を構成すること、【3】2項式辺イデアルの環論的性質、特に生成元の関係と幕の挙動などの研究が挙げられる。これらはいずれも可換環論における基本的な問題であり、2項式辺イデアルが研究対象として重要である以上解決されるべき課題である。
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