3次元多様体のgraphic理論の展開と応用

2012 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 11J09524
• 研究機関: 奈良女子大学
• 研究代表者: 長郷 絢子 (井戸 絢子) 奈良女子大学, 人間文化研究科, 特別研究員(DC1)
• キーワード: ヒーガード分解 / 橋分解 / ヘンペル距離 / 3次元多様体 / graphic

研究概要

Hempelによって導入されたヒーガード分解の"距離"の概念は,どれくらい効率よく3次元多様体の断面(ヒーガード曲面)が取れているかを測っていると共に,3次元多様体の複雑さも捉えていることが多くの研究者によって明らかにされており,この概念を利用することで3次元多様体に関する様々な問題が解決されている.またHempelやEvansによって,いくらでも距離の大きいヒーガード分解が存在することが示されているが,この結果に対して次のような問題が設定できる.
問題:与えられた正整数nに対して距離がちょうどnになるようなヒーガード分解が存在するか?
本年度は,この問題に対して小林毅教授(奈良女子大学)張娟姫氏(奈良女子大学学振・外国人特別研究員)との共同研究で,次のような肯定的な解答を与えた.
定理1:任意の正整数nと整数g>1に対して,種数gのヒーガード分解でその距離がちょうどnになるようなものが存在する.
加えて,絡み目の橋分解に対しても同様の問題が設定できるが,これに関しても小林毅教授と張娟姫氏との共同研究において,特に絡み目の(1,1)分解に対して次の結果が得られた.
定理2:任意の正整数nに対してある絡み目の(1,1)分解でその分解の距離がちょうどnになるようなものが存在する.

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本年度得られた結果は曲面のcurve complexの距離に関するMasur-Minskyの結果を用いたSchleimerのアイディアを巧みに使うことで,距離がちょうどnとなるようなヒーガード分解の構成方法を与えることができ,この手法は今後の展開が期待できる.

今後の研究の推進方策

昨年度graphicを用いて得られた,距離がヒーガード曲面の種数のちょうど2倍になるようなヒーガード曲面の特徴と本年度得られた距離がちょうどnとなるようなヒーガード分解の構成方法をあわせて,距離が種数のちょうど2倍となるようなヒーガード分解をもつ3次元多様体への応用を押し進める.

研究成果

• [学会発表] Heegaard splitting with distance exactly $n$ (2013)
  • 著者名/発表者名: Ayako Ido
  • 学会等名: 国際研究集会「Low dimensional Topology and Number Theory」
  • 発表場所: Fukuoka Soft Research Park (招待講演)
  • 年月日: 2013-03-12
• [学会発表] On the distance of Heegaard splitting for a closed 3-manifold (2012)
  • 著者名/発表者名: Ayako Ido
  • 学会等名: 国際研究集会「Pursuit of the essence of Singularity Theory」
  • 発表場所: 京都大学 数理解析研究所(招待講演)
  • 年月日: 2012-11-29
• [学会発表] Heegaard splitting with distance exactly $n$ for each non-negative integer $n$ (2012)
  • 著者名/発表者名: Ayako Ido
  • 学会等名: UCSB Topology seminer
  • 発表場所: カリフォルニア大学サンタバーバラ校, アメリカ(招待講演)
  • 年月日: 2012-10-30
• [学会発表] 結び目の橋分解の距離について (2012)
  • 著者名/発表者名: 井戸 絢子
  • 学会等名: 琉球結び目セミナー2012
  • 発表場所: 那覇市民族工芸館
  • 年月日: 2012-09-03
• [学会発表] Heegaard splitting with distance exactly $n$ for each non-negative integer $n$ (2012)
  • 著者名/発表者名: 井戸 絢子
  • 学会等名: 日大トポロジーセミナー
  • 発表場所: 日本大学(招待講演)
  • 年月日: 2012-07-13