モジュライ空間の幾何学の総合的な研究

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12304001
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 中村 郁 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50022687)
• 研究分担者: 筱田 健一 上智大学, 理工学部, 教授 (20053712) ; 小野 薫 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20204232) ; 江口 徹 東京大学, 大学院・理学系研究科, 教授 (20151970) ; 松本 圭司 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30229546) ; 諏訪 立雄 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40109418)
• キーワード: 楕円曲線 / モジュライ / レベルN構造 / Abel 多様体 / Stability / コンパクト化 / McKay対応

研究概要

Abel多様体のモジュライの新しいコンパクト化が構成できた。これについて現在論文「A new compactification of the moduli of abelian varieties over Ζ[ζN,1/N]」を執筆中である。以前はStabilityの立場からコンパクト化(Fine moduli)を構成したので、Abel多様体の極限としては構造層がべき零元を持つこともあった。そこで今回はStabilityを犠牲にして、その代わり構造層がべき零元を持たないものをとった場合にも、モジュライのコンパクト化が可能かどうかを考察した。その結果、Abel多様体の極限としては構造層がべき零元を持たないもののみをとると、モジュライとしていくぶん悪くなるがやはり、モジュライのコンパクト化が構成できることが判明した。
筱田、五味、中村 の共同研究で一方GがSL(3,C)の有限部分群であるときに、Hilb^G(C^3)の構造を決定する研究も進展しており、いくつか新しいことが分かってきた。Asian J.の論文ではGが単純群の場合にHilb^G(C^3)の構造を完全に決定した。また、現在準備中の論文ではSL(3,C)の(ほとんどの)有限部分群に対しその余不変式環のポアンカレ多項式を各既約表現に対して具体的に求めた。特にSO(3)の部分群に対してはMcKay対応の類似が成立していることを証明した。
このほか、GがSL(2,C)の有限部分群であるときには、Hilb^G(C^2)は、特異点C^2/Gの最小特異点解消であるが、古典的にも単純リイ環との関連が知られていて興味深い。しかし単純リイ環から特異点は構成できても、有限群や特異点から単純リイ環は構成されていない。今回、すべての正ルートが幾何学的に構成できた。単純リイ環の構成に向かう第一歩となる結果であろうと思われる。

研究成果

• [文献書誌] Iku Nakamura: "The moduli space of elliptic curves with Heisenberg structure"In press in the proceedings of Texel conference. (with Terasoma).
• [文献書誌] Iku Nakamura: "Hilbert schemes of abelian group orbits"In press in Jour.Alg.Geom..
• [文献書誌] Iku Nakamura: "Hilbert Schemes of G-Orbits in Dimension Three"Asian J.Math. 4. 1-20 (2000)
• [文献書誌] Tohru Eguchi: "Five-Dimensional Gauge Theories and Local Mirror Symmetry"Nucl.Phys.. B586. 331-345 (2000)
• [文献書誌] Tohru Eguchi: "Modular Invariance in Superstring on Calabi-Yau n-fold with A-D-E Singularity"Nucl.Phys.. B577. 3-22 (2000)
• [文献書誌] Ken-ichi Shinoda: "Characater sums attached to finite reductive groups"Tokyo J.Math.. 23. 373-385 (2000)
• [文献書誌] Keiji Matsumoto: "Recent progress of intersection theory for twisted (co) homology groups"Arrangements-Tokyo 1998, Adv.Stud.Pure Math. 27. 217-237 (2000)
• [文献書誌] Keiji Matsumoto: "Quadratic relations for confluent hypergeometric functions"Tohoku Math.J.. 52. 489-513 (2000)
• [文献書誌] Tatsuo Suwa: "Dual class of a subvariety"Tokyo J.Math. 23. 51-56 (2000)
• [文献書誌] Tasuo Suwa: "Nash residues of singular holomorphic foliations"Asian J.Math.. 4. 37-50 (2000)
• [文献書誌] Kaoru Ono: "Space of geodesics of Zoll 3-spheres, submitted to the proceedings of JAMI conference at Johns Hopkins University March 1999"In press in Advanced Studies in Pure Mathematics.
• [文献書誌] Hiroshi Yamashita: "Generalized Whittaker models and n-homology for some small irreducible representations of simple Lie groups"数理解析研究所講究録. 1124. 86-105 (2000)
• [文献書誌] Hiroshi Yamashita: "Two dual pair methods in the study of generalized Whittaker models for unitary highest weight modules, {in} : "Infinite Dimensional Harmonic Analysis"Transactions of Japanese-German Symposium held from September 20th to 24th, 1999 at Kyoto University. 373-387 (2000)