高次元双有理幾何の分類問題

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12440005
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 森 重文 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00093328)
• 研究分担者: 齊藤 政彦 神戸大学, 理学部, 教授 (80183044) ; 向井 茂 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (80115641) ; 宮岡 洋一 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50101077) ; 藤野 修 京都大学, 数理解析研究所, 助手 (60324711) ; 中山 昇 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (10189079)
• キーワード: 端末特異点 / 端射線 / Fano多様体 / シンプレクティック多様体 / フリップ / Painleve微分方程式 / ケーラー錐 / K3曲面

研究概要

森重文は、宮岡、高木、コラールとともに3次元標準Fano多様体の有界性の証明を出版した。これは川又雄二郎による、Q-分解的でピカール数が1の端末Fano多様体の有界性を一般化したものである。また、超曲面特異点に関するGurjarの興味深い結果が知られているが、その証明の簡易化と、Gurjarの条件を満たす、任意次元での明解な例を与えた。また、藤野と共に、小平の標準束公式の一般化を与え、その応用を論じた。具体的には、小平次元が3以下の代数多様体であれば、任意次元で標準環が有限生成になる等を証明した。また、3次元のk2A型の半安定extremal近傍を具体的に分類・表示し、フリップも具体的に表示した。
宮岡洋一は、長さがn+1となる端射線を持つn次元Fano多様体は射影空間に限ること、およびその一般化の証明を与えた。
斎藤政彦は、岡本-Painleve対の概念を導入し、その分類を行なった。更に、岡本-Painleve対の変形理論により、Painleve微分方程式系を導き、有理2形式をたもつ事から、ハミルトニアン形式の意味付けを与えた。
並河良典は、複素シンプレクティック多様体の間の双有理写像を研究した。またその結果を用いて、複素シンプレクティック多様体のカテゴリーでは、「リードの夢」の類似は成立しないことを示した。
小木曽啓示は、双対ケーラー錘の内点に格子点をもつ非特異ケーラー曲面は射影的であること(Huybrechtsの発見)に厳密な証明を与えた。
早川貴之は、(cD/2)型3次元端末特異点についてそれらのblowing upで例外因子が食い違い係数1/2の既約因子を分類した。
藤野修は、3次元半対数型標準多様体に関する豊富性定理を証明し、その応用として、端末的でない対数型標準特異点の指数の有限性に関する結果を証明した。

研究成果

• [文献書誌] MORI,Shigefumi: "Boundedness of canonical Q-Fano 3-folds (with J.Kollar,Y.Miyaoka,H.Takagi)"Proc.Japan Acad.,Ser.A.Math.Sci. 76. 73-77 (2000)
• [文献書誌] MORI,Shigefumi: "ON A HYPERPLANE SECTION THEOREM OF GURJAR"to appear Math.Annalen.
• [文献書誌] MORI,Shigefumi: "A canonical bundle formul (with O.Fujino)"accepted by Journal of Diff.Geom..
• [文献書誌] NAMIKAWA,Yoshinori: "Calabi-Yaus and Deformation theory"to appear in Sugaku Exposition,AMS.
• [文献書誌] NAMIKAWA,Yoshinori: "Global smoothing of Calabi-Yau threefolds II"to appear in Compositio Math..
• [文献書誌] NAMIKAWA,Yoshinori : "Deformation theory of singular symplectic n-folds"to appear in Math.Ann.
• [文献書誌] NAMIKAWA,Yoshinori: "Extension of 2-forms and symplectic varieties"to appear in J.Reine Angew.Math..
• [文献書誌] OGUISO,Keiji: "Projectivity via the dual Kahler cone-Huybrechts'criterion (with T.Peternell)"Asian J.Math.,(Kodaira volume). 4. 213-220 (2000)
• [文献書誌] OGUISO,Keiji: "On Vorontsov's Theorem on K3 surfaces with non-symplectic group actions (with D.Q.Zhang)"Proc.AMS. 128. 1571-1580 (2000)
• [文献書誌] HAYAKAWA,Takayuki: "Blowing ups of 3-dimensional terminal singularities,II"Publ.RIMS,Kyoto Univ.. 36. 423-456 (2000)
• [文献書誌] FUJINO,Osamu: "Abundance theorem for semi log canonical threefolds"Duke Math.J.. 102. 513-532 (2000)