ループ空間のド・ラム理論と量子位相不変量

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12440014
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 河野 俊丈 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (80144111)
• 研究分担者: 村上 順 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90157751) ; 森田 茂之 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70011674)
• キーワード: 点の配置の空間 / ループ空間 / 有限型位相不変量 / Vassiliev不変量 / 反復積分 / 超平面アレンジメント

研究概要

点の配置の空間のループ空間と有限型位相不変量との関連について研究した。F.CohenとS.Gitlerによるループ空間に関する研究に動機づけられて、組みひものVassiliev不変量の空間は、3次元空間内の互いに異なる点の配置の空間のループ空間のコホモロジーと同型であることを示した。より正確には、上のループ空間のコホモロジーは、Vassiliev不変量のウェイト系と対応していて、位相不変量は、組みひもから構成される、ループ空間のあるホモロジー類とのペアリングによって与えられる。さらに、一般に、従来グラフの空間に値をとるものとして定式化されてきた、有限型位相不変量に対して、これを、点の配置の空間のループ空間のホモロジー類としてとらえるという新たな視点を展開した。また,点の配置の空間のコホモロジー類とリンクの位相不変量についてのさらに一般的な研究をF.Cohenと共同で展開している.
一方、組みひものVassiliev不変量の空間はループのホモトピー類のみのよる対数微分形式の、K.T.Chenの意味の反復積分全体としてもとらえることができる。これは、複素平面の点の配置の空間のループ空間に付随して得られるバー複体の0次のコホモロジーと同型である。この方法を、複素超平面アレンジメントの補空間に一般化して、そのバー複体の構造についての具体的な記述を行った。

研究成果

• [文献書誌] Toshitake Kohno: "Elliptic KZ system, braid group of the torus and Vassiliev invariants"Topology and its applications. 20. 1-16 (1997)
• [文献書誌] Toshitake Kohno: "Topological quantum field theories with focus on their applications to 3-manifolds"Sugaku expositions. 11-2. 145-161 (1998)
• [文献書誌] Toshtiake Kohno: "Vassiliev invariants of braids and iterated integrals"Advanced Studuies in Pure Math.. 27. 157-168 (2000)
• [文献書誌] Shigeyuki,Morita: "Structure of the mapping class groups of surfaces : a survey and a prospect"Geometry and Topology Monographs. 2. 349-406 (1999)
• [文献書誌] Shigeyuki,Morita: "Casson invariant, signature defect of framed manifolds and the secondary charactereistic classes of surface bundles"Journal of Differential Geometry. 47. 560-599 (1997)
• [文献書誌] Jun Mrakami et al: "A three-manifold invariant via the Kontsevich integral"Osaka J.Math.. 36-2. 365-395 (1999)
• [文献書誌] 河野俊丈: "場の理論とトポロジー"岩波書店. 150 (1998)
• [文献書誌] 村上順: "結び目と量子群"朝倉書店. 180 (2000)