| 研究課題/領域番号 |
12440020
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
酒井 隆 岡山大学, 理学部, 教授 (70005809)
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| 研究分担者 |
吉野 雄二 岡山大学, 理学部, 教授 (00135302)
田村 英男 岡山大学, 理学部, 教授 (30022734)
勝田 篤 岡山大学, 理学部, 助教授 (60183779)
加須栄 篤 大阪市立大学, 理学部, 教授 (40152657)
森本 雅治 岡山大学, 環境理工学部, 助教授 (30166441)
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| キーワード | リーマン多様体 / 曲率 / 計量不変量 / アレキサンドロフ空間 |
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| 研究概要 |
1.代表者の酒井はこれまでリーマン多様体における種々の計量不変量の間に成り立つ関係、計量不変量と空間構造の関連をテーマとして研究を続けてきた。また最近、勾配ベクトル場のノルムが一定な関数を許容するリーマン多様体の構造に関して、リッチ曲率が重要な役割を果たし標準的な捩れ積計量を特徴づけることを示し、またその摂動版を考察した。上記課題に関する科研費の援助の下でさらに次の問題設定の下で研究を続けている:
(1)等径不等式:n次元コンパクト・リーマン多様体の体積を直径のn乗で割った量を最大にする計量は何かを考察している。この場合(リッチ)曲率が非負という様な曲率に関する条件が必要で、2次元球面の場合でもAlexandrovよる予想があるが未解決である。最大値を取る計量は滑らかでないが曲率非負のAlexandrov空間になっている。リーマン多様体の収束理論と極限空間の幾何を用いて解決できないかを検討中である。
(2)距離関数の挙動と幾何:距離関数をモース理論的に取り扱うとき、曲率1以上で直径(半径)がπ/2のAlexandrov空間の構造が次に調べるべき場合であると思われるが、リーマン多様体の場合よりさらに多様である。他の計量不変量との関連まで込めて検討中である。
他にリッチ曲率が下から押さえられた多様体族とその極限について、最近のColdingやCheegerによる重要な仕事の検討を行いSurveys in Geometry報告集:「リーマン多様体とその極限」で報告した(私の分は「リッチ曲率が下から押さえられた多様体族とその極限」;147-241)。
2.上記課題に関連して分担者達の行った研究について簡単に触れる。勝田はグラフやリーマン多様体のスペクトルに関する逆問題の考察を続け、加須栄はリーマン多様体族におけるスペクトル距離とグロモフ・ハウスドルフ距離の関係を研究した。田村は磁場における散乱のAharonov-Bohm効果の数学的解析を行った。吉野は多様体の局所理論としての可換環のイデアル論・表現論で次元、grade等の不変量を与える一般的公式を与えた。また、森本は同変手術障害類の消滅定理を用いて閉円盤や球面上の群作用の研究をおこなっている。
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