| 研究分担者 |
森本 雅治 岡山大学, 環境理工学部, 教授 (30166441)
田村 英男 岡山大学, 理学部, 教授 (30022734)
勝田 篤 岡山大学, 理学部, 助教授 (60183779)
塩谷 隆 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90235507)
加須栄 篤 金沢大学, 理学部, 教授 (40152657)
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| 研究概要 |
代表者の酒井はリーマン多様体における種々の計量不変量の間に成り立つ関係,計量不変量と空間構造の関連をテーマとして研究を続けてきたが,上記課題に関する科研費の援助の下で次の具体的な問題設定の下で研究している.
1.距離関数のモース理論をさらに発展させること:リーマン多様体の1点pからの距離関数dpは微分可能でない点を持ち得るが,危点の概念を幾何学的に定義できる.他方通常の可微分関数のモース理論では危点の指数の概念が重要な役割を果すが,距離関数の場合は危点の指数の概念は明確ではなかった.そこで,点pの切断跡(cut locus)が扱いやすい構造を持つ場合に危点の指数の概念を導入して,距離関数のモース理論を展開することを試みた(伊藤仁一との共同研究).また,危部分多様体の観点からは,曲率1以上で直径(半径)がπ/2のアレキサンドロフ空間の構造が次に調べるべき場合であると思われる.リーマン多様体の場合よりさらに多様であるが,構造定理や,他の計量不変量との関連まで込めて検討をおこなっている.
2.幾何学的不等式:n次元コンパクト・リーマン多様体の体積を直径のn乗で割った量を最大にする計量は何かを考察している.この場合(リッチ)曲率が非負という様な曲率に関する条件が必要で,2次元球面の場合でもA.D. Alexandrovによる予想があるが未解決である.最大値を取る筈の計量は滑らかでないが曲率非負のアレキサンドロフ空間になっている.そこで,リーマン多様体の収束理論や極限空間のアレキサンドロフ空間の幾何を用いて解決できないかを検討している.
他に,酒井は総合報告「曲率20世紀までとその後?」の英訳をおこない,リッチ曲率が下から押さえられた多様体族とその極限について最近の研究に関する報告「リッチ曲率が下から押さえられた多様体族とその極限」の出版準備のためにさらに検討をおこなった.
上記課題に関連して他の分担者達の行った研究については,塩谷はアレキサンドロフ空間における解析を展開している.加須栄はリーマン多様体族におけるスペクトル距離とグロモフ・ハウスドルフ距離の関係を解明した.勝田はグラフやリーマン多様体のスペクトルに関する逆問題の考察を続け,田村は磁場における散乱の数学的解析を行っている.森本は同変手術障害類の消滅定理を用いて閉円盤や球面上の群作用を研究した.
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