代数的符号理論、組合せデザイン理論とアソシエーション・スキームの研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12440030
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 宗政 昭弘 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (50219862)
• 研究分担者: 浦川 肇 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (50022679) ; 坂内 悦子 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (00253394) ; 坂内 英一 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10011652) ; 平木 彰 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (90294181) ; 原田 昌晃 山形大学, 理学部, 助教授 (90292408)
• キーワード: 代数的符号理論 / 自己双対符号 / 距離正則グラフ / 有限体 / スピンモデル / 保型形式 / 格子

研究概要

今年度主に研究したものは、格子と2元符号との対応における球デザインと組合せデザインの関連性である。符号のshadowの概念をさらに一般化したharmonic weight enumeratorを用いて、長さ48の自己双対符号の可能性を吟味した。特に、近年、長さ48のType II自己双対符号の一意性が計算機によって確かめられたことを受けて、長さ48のType I自己双対符号の分類が現実的となった。長さ48のType I自己双対符号は、そのweight enumeratorによって2種類に分けられるが、そのうちの1種類は完全に分類できることがわかった。一方、48点上のself-orthogonalデザインの特徴付けは、上記の自己双対符号に関する結果から比較的容易に得られることがわかり、それをまとめた論文が完成し投稿した。
また、この問題の類似である、rank 48のunimodular格子の、harmonic theta seriesを用いた研究を進めた。このような格子のshadowの性質を明らかにし、そのテータ級数によって2種類に分けられることがわかった。そのうちの1種類はeven unimodular latticeのneighborとして得られることがわかったが、現段階では分類には至っていない。もう1種類はさらに難解な場合であるが、そのことを研究しているうちに、いろいろな平方剰余符号から得られる格子の間の相互関係がわかってきた。
また、自己双対符号は、自然に格子に対応することで保型形式を定義する。そのmass formulaの意味するところはまだほとんど研究がされておらず、その研究としての最初の論文の執筆作業がほぼ終わったが、学術雑誌に掲載されるまではなお時間を要するものと思われる。
保型形式については特に専門家との交流がこれまでなかったため、今年度日本で開催された国際会議に参加して情報交換に努めた結果、新たな研究の可能性が広がった。

研究成果

• [文献書誌] A.Munemasa: "Spherical 5-designs obtained from finite unitary groups"European Journal of Combinatorics. 25. 261-267 (2004)
• [文献書誌] D.B.Dalan, M.Harada, A.Munemasa: "On Hadamard matrices of order 2(p+1) with an automorphism of odd prime order p"Journal of Combinatorial Designs. 11. 367-380 (2003)
• [文献書誌] E.Bannai, M.Harada, T.Ibukiyama, A.Munemasa, M.Oura: "Type II codes over F_2 + uF_2 and applications to Hermitian modular forms"Abhandlungen Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg. 73. 13-42 (2003)
• [文献書誌] M.Harada, A.Munemasa, K.Tanabe: "Extremal self-dual [40,20,8] codes with covering radius 7"Finite Fields and Their Applications. 10. 183-197 (2004)
• [文献書誌] M.Klin, A.Munemasa, M.Muzychuk, P.-H.Zieschang: "Directed strongly regular graphs via coherent algebras"Linear Algebra and Applications. 377. 83-109 (2004)
• [文献書誌] B.Bannai, O.Shimabukuro, H.Tanaka: "Finite analogues of non-Euclidean graphs and Ramanujan graphs"European Journal of Combinatorics. 25. 243-259 (2004)