連続体上の計算可能性問題の多角的研究

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12440031
• 研究機関: 京都産業大学
• 研究代表者: 八杉 満利子 京都産業大学, 理学部, 教授 (90022277)
• 研究分担者: 林 晋 神戸大学, 工学部, 教授 (40156443) ; 立木 秀樹 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (10211377) ; 辻井 芳樹 京都産業大学, 理学部, 教授 (90065871) ; 小田 秀典 京都産業大学, 経済学部, 教授 (40224240) ; 吉川 敦 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (80001866)
• キーワード: 計算可能性 / 計算可能性構造 / 型2マシン / 連続体 / 一様位相空間 / 関数空間 / 排中律

研究概要

抽象空間における計算可能性構造の理論および型2マシンの理論を中心に、数学の種々なオブジェクトの計算可能性に関してほぼ予定通りの成果を得た。描画は精度の問題があって、未完成である。主な結果は次のとおりである。1 一様位相空間における計算可能性構造:整数点などでジャンプするが残りの各開区間で連続な実数値関数などは不連続ではあっても計算の意味をもつ。その現象の数学的な基礎づけのために一様位相空間における計算可能性構造を導入した。すなわち、定義域を関数が連続な部分と不連続点とに分離してそれぞれに位相を導入し、それらを合併した新しい一様位相空間とみなした。そこにおける関数の計算可能性などを定義し、多くの例および反例を与えた。2 関数解析における計算可能性:有界変動関数族における計算可能性、およびBanach空間の複素補間空間理論が計算可能性構造と両立すること、などを示した。3 型2マシンによる数学の計算可能性:型2マシンによる実数および諸空間の表現によって、線形部分空間の次元の計算方法、スペクトル定理の計算可能版、などを示した。4 Grayコードによる計算:Grayコードへの埋めこみによる実数の計算およびその応用としての位相空間の次元の計算可能性についての条件を提示した。5 計算可能性の論理構造:不連続関数は多くの場合Σ^-01-排中律の各ケース内では通常の計算アルゴリズムをもつことがわかる。それはまた極限再帰関数を使った計算としても表される。この状況は存在記号の関数解釈によって基礎付けられるが、それはまた例による証明検証とも関係があることがわかった。6 現象としての計算可能性:消費者理論におけるネットワーク体系へのセラ・オートマタの応用、結び目理論におけるVssiliev不変量を共有する簡単な異なる結び目の構成などが実現した。

研究成果

• [文献書誌] 八杉満利子: "How to understand the computability aspects of step functions"数理解析研究所講究録. 1169. 84-91 (2000)
• [文献書誌] Mariko Yasuoi et.al: "Computability strutures in analysis"Sugaku Expositions. 13. 215-235 (2000)
• [文献書誌] Yoshiki Tsujii et al.: "Some properties of the effectively uniform topological space"Lecture Notes in Computer Science. Special Issue. (2001)
• [文献書誌] Yoshiyuki Ohyama et.al: "Realization of Vassiliev invariants by unknotting number one knots"Tokyo Journal of Mathematics. (to appear). (2001)
• [文献書誌] Susumu Hayashi et.al: "Towards animation of proofs-testing proofs by examples"Theoretical Computer Science. (to appear).
• [文献書誌] Hideki Tsuiki: "Computational Dimension of Topological spaces"Prceedings of CCA'2000. 407-420 (2000)
• [文献書誌] Hideki Tsuiki: "Real Number compcutation through Gray Code embedding"Theoretical Computer Science. (to appear).
• [文献書誌] Atsushi Yoshikawa: "Interpolation functor and computability"Theoretical Computer Science. (to appear).
• [文献書誌] Vasco Brattka et al: "Topological properties of real number representation"Theoretical Computer Science. (to appear).
• [文献書誌] Martin Ziegler et al.: "Computing the dimension of linear subspaces"Lecture Notes in Computer Science. 1963. 450-458 (2000)
• [文献書誌] Martin Ziegler et al.: "A computable spectral theorem"Lecture Notes in Computer Science. (to appear).
• [文献書誌] Solei H.Oda et al.: "The application of cellular automata and agent model to network externalities in consumer theory"Commerce,Complexity and Evolution. 351-370 (2000)
• [文献書誌] 吉川敦: "無限を垣間見る"牧野書店. 101+6 (2000)