| 研究分担者 |
有澤 真理子 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (50312632)
長澤 壮之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70202223)
小薗 英雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00195728)
水町 徹 横浜市立大学, 理学部, 助教授 (60315827)
太田 雅人 埼玉大学, 理学部, 助教授 (00291394)
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| 研究概要 |
非線形波動方程式の解の正則性と方程式の幾何学的対称性の間には,密接な関係があることが知られている.たとえば,相対論的非線形波動方程式に対しては,KlainermanとChristodoulouによって導入された,零条件(null condition)が重要な役割を果たす.このような観点から,平成12年度および平成13年度は,古典的場の理論(classical field theory)に現れる,Dirac-Proca方程式とMaxwell-Higgs方程式の初期値問題の時間大域的可解性を研究した.前者の方程式系に対しては,Dirac場とProca場の相互作用が,湯川のベクトル型と擬ベクトル型相互作用の一次結合で表現できるとき,Proca方程式が零条件を満たす構造を持っていることを明らかにし,滑らかで小さな初期値に対して時間大域解の存在を示した.後者の方程式系に対しては,定数真空解の安定性の問題を考えた.この問題は,異なる質量項を持つKlein-Gordon方程式の連立系を,ゼロ解の周りで解き時刻無限大での解の漸近挙動を調べることに帰着される.Maxwell-Higgs方程式の場合,空間2次元のとき,2次の非線形相互作用は短距離型相互作用と長距離型相互作用の境目のケースに相当し,数学的には解が時刻無限大でどのように振る舞うのか興味深い問題である.今回の研究では,Klein-Gordon方程式系と零条件との関係を調べ,空間2次元のときある特別な場合を除き,時刻無限大の近傍で解は自由解のように振る舞うことを証明した.
平成14年度は,修正KdV方程式(modified Korteweg-de Vries equation)の初期値問題に対し,弱解のクラスでの適切性を考えた.初期値問題の適切性とは,解の存在,一意性,初期値に関する連続依存性の三つが成立することをいう.初期値問題を解く関数空間を広げていくと,H^s(s<1/2)では初期値に解を対応させる解作用素はFrechet微分可能でなくなることが知られていた.H^s(s【greater than or equal】1/2)では,無限回微分可能となる.)14年度の研究では,修正KdV方程式のどのような構造がこのような現象を引き起こすのか調べた.
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