量子ホワイトノイズと非線形無限次元解析

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12440036
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 尾畑 伸明 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10169360)
• 研究分担者: 齊藤 公明 名城大学, 理工学部, 教授 (90195983) ; 千代延 大造 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (50197638) ; 青本 和彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00011495) ; 田崎 秀一 早稲田大学, 理工学部, 助教授 (10260150) ; 有光 敏彦 筑波大学, 物理学系, 教授 (50134200)
• キーワード: ホワイトノイズ理論 / 量子確率論 / 量子ホワイトノイズ / 散逸量子系 / 伊藤公式 / 複素スペクトル / レヴィラプラシアン / 量子中心極限定理

研究概要

無限次元解析・量子確率(IDAQP)の立場から理論的展開を図るとともに、散逸系の物理学などへの応用を見据えた形で研究セミナー・研究集会・外国人招聘を核とした共同研究を実施した。主要な研究項目は次の通り。
1.正規積ホワイトノイズ方程式。これは、量子ホワイトノイズの定式化によって、従来の伊藤型方程式を著しく拡張したものである。その解の存在・一意性・滑らかさは、ホワイトノイズ超関数空間に荷重付フォック空間による階層を導入することで詳しく議論された。非線型方程式も含む一般的な解の存在定理も証明された。
2.ホワイトノイズの高次冪とレヴィラプラシアン。特に、ホワイトノイズの2乗については、レヴィラプラシアンに付随する熱方程式の解を記述することが発見された。付随する確率過程の構成やくりこみなど新しい課題が続出した。
3.複素ホワイトノイズ。ホワイトノイズ作用素のシンボルによるユニタリ性の判定条件が得られた。これを用いて、正規積ホワイトノイズ方程式の解がユニタリになる必要十分条件が与えられ、ホワイトノイズの2乗は、物理でいう「異なる真空」を結び付けていることが示唆された。
4.物理への応用。ホワイトノイズの高次巾は数学的産物としてだけではなく、ある種の物理モデルに潜在していると考えられる。ミクロ系からマクロ系への移行を正準演算形式によって扱う非平衡熱場力学(NETFD)を発展させた。それによって、散逸過程を記述する種々の方程式の相互関係が一貫した体系の下で明らかにされた。
5.代数的確率論からの視点。新しい独立性の概念である「シングルトン独立性」に付随する中心極限定理を相互作用フォック空間を用いて証明した。これによって、離散グラフ上の隣接作用その量子分解という概念に到達し、生成・消滅作用素の類似物の重要性とガウス・ポワソン対応に新しい視点が与えられた。

研究成果

• [文献書誌] N.Obata,D.M.Chung,U.C.Ji: "Normal-ordered white noise differential equations I : Existence of solutions as Fock space operators"Trends in Contemporary Infinite Dimensional Analysis(L.Accardi et al Eds.). 115-135 (2000)
• [文献書誌] N.Obata,U.C.Ji: "Initial value problem for white noise operators and quantum stochastic processes"Infinite Dimensional Harmonic Analysis (H.Heyer,T.Hirai,N.Obata Eds.). 203-216 (2000)
• [文献書誌] N.Obata: "A note on coherent state representations of white noise operators"Quantum Information(T.Hida,K.Saito Eds). 2. 135-147 (2000)
• [文献書誌] N.Obata: "Coherent state representations in white noise"Can.Maht.Soc.Proc.Series. (in press).
• [文献書誌] K.Aomoto: "Integrable system of the heat kernel associated with loqarithmic potentials"Annales Polonici Matematici. (in press).
• [文献書誌] K.Saito,A.Tsoi: "Stochastic processes generated by functions of the Levy Laplacian"Quantum Information. 2. 183-194 (2000)
• [文献書誌] K.Saito: "The Levy Laplacian and stochastic processes"Infinite Oimensional Harmonic Analysis(H.Heyer,T.Hirai,N.Obata Eds.). 306-318 (2000)
• [文献書誌] K.Saito: "A stochastic process generated by the Levy Laplacian"Acta Appl.Math.. (in press).
• [文献書誌] K.Saito,D.M.Chung,U.C.Ji: "Notes on a CO-group generated by the Levy Laplacian"Proc.Amer.Math.Soc.. (in press).
• [文献書誌] T.Arimitsu N.Armitsu: "Analysis of fully developed trubulence in terms of Tsallis statistics"Phys.Rev.E. 61. 3237-3240 (2000)
• [文献書誌] T.Arimitsu N.Arimitsu: "An application of NETFD to the system of a localized electron and photons"Condensed Matter Physics. 3. 103-132 (2000)
• [文献書誌] T.Arimitsu N.Arimitsu: "Tsallis statistics and fully developed.turbulence"J.Phys.A.Math.Gen.. 34. 235-241 (2001)
• [文献書誌] L.Accardi,N.Obata, et al(編著): "Trends in Contemporary Infinite Dimensional Analysis and Quantum Probability"Instituto Italiano di Cultura,Kyoto. 484 (2000)
• [文献書誌] H.Heyer,T.Hirai,N.Obata(編著): "Infinite Dimensional Harmonic Analysis"D.+M.Grabner,Tubingen. 387 (2000)
• [文献書誌] K.saito,T.Hida(編著): "Quantum Information II"World Scientific. 227 (2000)
• [文献書誌] 田崎秀一: "カオスから見た時間の矢"講談社. 254 (2000)