量子ホワイトノイズと非線形無限次元解析

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12440036
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 尾畑 伸明 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10169360)
• 研究分担者: 青本 和彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科研究科, 教授 (00011495) ; 浦川 肇 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (50022679) ; 日合 文雄 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (30092571) ; 有光 敏彦 筑波大学, 物理学系, 教授 (50134200) ; 齊藤 公明 名城大学, 理工学部, 教授 (90195983)
• キーワード: ホワイトノイズ理論 / 量子確率論 / 量子ホワイトノイズ / 量子分解 / 量子中心極限定理 / 複素スペクトル / レヴィラプラシアン / 散逸量子系

研究概要

無限次元解析・量子確率(IDAQP)における近年の発展を支える形で、これまでの未解決問題の解決を図るとともに、応用面における課題を探索した。また、日伊共同フォーラム「量子確率と情報数理」を主催するとともに、外国から多くの研究者を招聘し共同研究を実施した。
1.正規積ホワイトノイズ方程式。従来の伊藤型方程式を著しく拡張し、その解の存在・一意性・滑らかさを複素ホワイトノイズを用いる新しい方法で示した。
2.ホワイトノイズの高次冪とレヴィラプラシアン。ホワイトノイズの2乗については、レヴィラプラシアンに付随する熱方程式の解を記述することが発見され、これをきっかけとして、高次冪に対応する確率過程の構成について、目下、研究を進行させている。
3.複素ホワイトノイズ。指数ベクトルの過剰決定性や作用素のコヒーレント状態表現など、理論の基礎を固める結果を得ている。古典的なシーガル・バークマン同型の再構成と非ガウス拡張がこれからの課題である。
4.物理への応用。ホワイトノイズの高次冪は数学的産物としてだけではなく、ある種の物理モデルに潜在していると考えられ、物理モデルへの応用を模索した。ミクロ系からマクロ系への移行を正準演算形式によって扱う非平衡熱場力学(NETFD)を再考し、有限温度の統計物理との関連を念頭におきながら研究を進行させた。
5.代表的確率論からの視点。新しい概念である「量子分解」を集中的に研究し、特に、グラフの隣接作用素の漸近的スペクトル解析の手法として確立させた。こてによって量子中心極限定理の新しい応用が拓かれ、従来の独立性の諸概念を拡張するきっかけとなった。

研究成果

• [文献書誌] Nobuaki Obata: "Coherent state representation and unitarity condition in white noise calculus"J. Korean Math. Soc.. 38. 297-309 (2001)
• [文献書誌] Yukihiro Hashimoto, Nobuyuki Tabei, Nobuaki Obata: "A quantum aspect of asymptotic spectral analysis of large Hamming graphs"Quantum Information III (T.Hide and K.Saito,Eds.). 45-57 (2001)
• [文献書誌] Nobuaki Obata: "Quadratic quantum white noises and Levy Laplacian"Nonlinear Analysis. 47. 2437-2448 (2001)
• [文献書誌] Dong Myung Chung, Un Cig Ji, Nobuaki Obata: "Quantum stochastic analysis via white noise operators in weighted Fock space"Rev. Math. Phys.. (印刷中).
• [文献書誌] Fumio Hiai: "Concavity of certain matrix trace functions"Taiwanese J. Math.. 5. 535-554 (2001)
• [文献書誌] Fumio Hiai, X.Zhan: "Inequalities involving unitarily invariant norms and operator monotone functions"Linear Algebra Appl.. 341. 151-169 (2002)
• [文献書誌] Fumio Hiai, Y.Ueda: "Automorphisms of free product-type and their crossed-products"J. Operator Theory. (印刷中).
• [文献書誌] Fumio Hiai, M.Mizuo, D.Petz: "Free relative entropy for measures and a corresponding perturbation theory"J. Math. Soc. Japan. (印刷中).
• [文献書誌] E.Barletta, S.Dragomir, Hajime Urakawa: "Pseudoharmonic maps from nondegenerate CR manifolds to Riemannian manifolds"Indiana Univ. Math. J.. 50. 719-746 (2001)
• [文献書誌] S.Dragomir, T.Ichiyama, Hajime Urakawa: "Yang-Mills theory and conjugate connections"Differential Geometry and Its Applications. (印刷中).
• [文献書誌] 浦川肇: "スペクトル幾何学とグラフ理論"応用数理. 12(印刷中). (2002)
• [文献書誌] 浦川肇: "連続システム"数理システム科学、放送大学. 101-172 (2002)
• [文献書誌] Makoto Nakamura, Tohru Ozawa: "The Cauchy problem for nonlinear Klein-Gordon equations in the Sobolev spaces"Publ. Res. Inst. Math. Sci.. 37. 255-293 (2001)
• [文献書誌] Kazuhiko Aomoto: "Density matrices and LR transforms (Genesis of orthogonal functions)"数理解析研究所講究録. 1227. 14-60 (2001)
• [文献書誌] Kazuhiko Aomoto, Kazumoto Iguchi: "Wu's equations and quasi-hypergeometric functions"Commun. Math. Phys.. 223. 475-507 (2001)
• [文献書誌] K.Saito: "The Levy Laplacian and stable processes"Chaos Solitons Fractals. 12. 2865-2872 (2001)
• [文献書誌] Toshihico Arimitsu, N.Arimitsu: "Analysis of fully developed turbulence by a generalized statistics"Prog. Theor. Phys.. 105. 355-360 (2001)
• [文献書誌] Toshihico Arimitsu, N.Arimitsu: "Tsallis statistics and turbulence"Chaos,Solitons and Fractals. 13. 479-489 (2002)
• [文献書誌] Toshihico Arimitsu, N.Arimitsu: "Analysis of turbulence by statistics based on generalized entropies"Physica A. 295. 177-194 (2001)
• [文献書誌] Shuichi Tasaki: "Nonequilibrium stationary states of noninteracting electrons in a one-dimensional lattice"Chaos, Solitons and Fractals. (印刷中).
• [文献書誌] Shuichi Tasaki: "Current fluctuations in nonequilibrium steady states for a one-dimensional lattice conductor"Quantum Information III (T.Hide and K.Saito, Eds),World Scientific. 157-176 (2001)
• [文献書誌] Luigi Accardi, Nobuaki Obata, Kimiaki Saito 他(編著): "Recent developments in infinite-dimensional analysis and quantum probability"Kluwer Academic Publishers. 464 (2001)
• [文献書誌] Takeyuki Hida, Kimiaki Saito(編著): "Quantum Information III"World Scientific Publishing Co.. 217 (2001)