非線形発展方程式及び非線形楕円型方程式の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12440051
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656)
• 研究分担者: 石井 仁司 早稲田大学, 教育学部, 教授 (70102887) ; 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20188288) ; 山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825) ; 坂口 茂 愛媛大学, 理学部, 教授 (50215620) ; 鈴木 貴 大阪学院大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (40114516)
• キーワード: Nonlinear Evolution Equation / Nonlinear Elliptic Equation / Variational Method

研究概要

研究目的にかかげた目標に関する次の幾つかの興味ある成果が得られた。
(i)従来のLeray-Schauderの理論やBrowderの(S)+理論とは異なる、Hilbert空間における劣微分作用素およびその非単調摂動に対する写像の理論が構築された。これにより、従来ではカバーできなかった、様々の多価性を有する非線形偏微分方程式への応用が可能になった。
(ii)上記の理論を適用し、一次元p-Laplace作用素を含むある作用素に対するLeray-Schauder理論による写像度とBrowderの(S)+理論による写像度が、一致することが示された。
(iii)p-Lapalace作用素のように斉次性をもたないが、無限遠で斉次作用素に漸近する新しい作用素の族に対する非線形固有値問題の解の存在が示された。
(iv)従来の方法では得られなかった、準線形及び強非線形放物型方程式の解の高い微分可能性を保証する「L∞-エネルギー法」を開発した。∞-Laplacianによって支配される放物型方程式のリプシッツ連続な一意粘性解の存在の証明をはじめ、色々な方程式系に極めて有効な解析手段を与えることが期待される。
(v)第二種超伝導体のマクロモデルであるビーンモデルの一意解の存在とその近似問題に対する解が一意解に収束することが、時間依存性を有する劣微分の理論に依って示された。
(vi)回転磁場を内部構造として有する非圧縮粘性流体を記述するmicro-polar流体方程式に対する時間周期問題の解が、大谷による劣微分作用素に対する非単調摂動理論の応用により構成された。これにより,劣微分作用素に対する非単調摂動論の有用性が再確認された。

研究成果

• [文献書誌] M.Garcia-Huidobro, R.Manasevich, M.Otani: "Existence results for p-Laplacian-like systems od O.E.D.'s"Funkcialaj Ekvacioj. 46. 253-285 (2003)
• [文献書誌] H.Inoue, K.Matsuura, M.Otani: "Strong solutions of magneto-micropolar fluid equation, Dynamical Systems and Differential Equations"Dynamical Systems and Differential Equations, edited by W.Fei, S.Hu \& X.Lin, American Institute of Mathematical Sciences. 439-448 (2003)
• [文献書誌] Y.Yamada: "Multiple coexistence states for a prey-predator model with cross-diffusion"J.Differential Eauations/Elsevier. 197. 315-348 (2004)
• [文献書誌] Y.Yamada: "Existence of global solutions for the Shigesada-Kawasaki-Teramoto model with strongly coupled cross-diffusion"Discrete and Continuous Dynamical Systems/American Institure of Mathematical Sciences. 10. 719-730 (2004)
• [文献書誌] L.Jeanjean, K.Tanaka: "Singularly perturbed elliptic problems with superlinear or asymptotically linear nonlinearities"Calculus of Variations and Partial Differential Equations. (未定). (2004)
• [文献書誌] L.Jeanjean, K.Tanaka: "A note on a mountain pass characterization of least energy solutions"Advanced Nonlinear Studies. 3. 445-455 (2003)
• [文献書誌] H.Ishii, Paola Loreti: "Relaxation of Hamilton-Jacobi equations"Arch.Ration.Mech.Anal.. 169. 265-304 (2003)
• [文献書誌] K.Horie, H.Ishii: "Simultaneous effects of homogenization and vanishing viscosity in fully nonlinear elliptic equations"Funkcial.Ekvac. 46. 63-88 (2003)
• [文献書誌] T.Senba, T.Suzuki: "Blowup behavior of solutions to rescaled Jager-Luckhaus system"Adv.Differential Eauations. 8. 787-820 (2003)
• [文献書誌] Y.Matsuzawa, T.Suzuki, T.Tsuchiya: "Finite element approximation of H-surfaces"Math.Comp.. 72. 607-617 (2003)