| 研究概要 |
本課題は数理物理における可積分系の研究,特にヤン・バクスター方程式の楕円函数解の周辺の代数構造およびその可積分系との関連を,差分化された量子系の場合に考察するものであった.とくに、スクリャーニンらによるカロジェロ系の離散時間化と,量子群的代数構造とのかかわりについて,その量子系における楕円函数化・離散時間化をどう考えるべきかを中心的問題と考え,この問題および周辺の問題の考察を行なった.
まず長谷川は,離散パンルヴェ系とその野海-山田による拡張におけるワイル群対称性について,その量子化を構成することに成功した.カイラル・ポッツ模型として知られているヤン・バクスター方程式の解により,野海-山田による離散時間発展の量子化を正準変換として実現する母函数が得られる.ただし,この変換はワイル群でなくブレイド群を生成する.これによりカイラル・ポッツ模型および対称形式によるパンルヴェ方程式の拡張の双方について,その位置付けが互いに明らかになった.たとえば,今後はカイラル・ポッツ模型の準古典的扱いが重要な問題になるかもしれないと考えられる.
黒木は,差分量子可積分系の幾何学的背景について研究した.パンルヴェ方程式はKP方程式系のリダクションとして得られることが良く知られている.そこで長谷川によるパンルヴェ方程式の量子化を拡張するため,KP方程式系のポワソン構造に基く理解とその量子化についても試みた.また共形場においては,楕円曲線上の特別な共形ブロックについての積分表示を武部と共に与えた.一方,可積分系理論の高次元化とその差分化の試みについても議論した.
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