| 研究課題/領域番号 |
12640009
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
佐藤 孝和 埼玉大学, 理学部, 助教授 (70215797)
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| 研究分担者 |
権 寧香 埼玉大学, 理学部, 助手 (30302508)
柳井 久江 埼玉大学, 理学部, 講師 (10008865)
竹内 喜佐雄 埼玉大学, 理学部, 教授 (00011560)
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| 研究期間 (年度) |
2000 – 2002
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| キーワード | フロベニウス置換 / 有限体 / 楕円曲線 / 位数計算 |
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| 研究概要 |
本研究では標数が小さい有限体上の楕円曲線に対するp進位数計算アルゴリズムを確立し、発展させた。pを固定された小さな素数とし、qをpのN乗とする。要素の数がq個である有限体k上定義された非超特異楕円曲線Eに対して本研究はEのk有理点の個数を計算するアルゴリズムを構成した。小さな素数pが固定されNが無限大に動くとき本研究の成果であるアルゴリズムはいわゆるSEAアルゴリズムよりも高速である。
本研究成果は楕円曲線の標準持ち上げに基づく。最初に与えられた楕円曲線を標数0に持ち上げる。ここでは持ち上げられた曲線のj不変量がp番目のモジュラー多項式により関連付けられることを用いる。したがって標準持ち上げの構成はある種の非線形連立方程式系を解くことに帰着される。次にp番目のフロベニウス射の双対の持ち上げの先頭項を計算する。なおすでに標数0の曲線を計算の対象としているので、フロベニウス射をフロベニウス置換と混同してはならない。最後に持ち上げられたフロベニウス射の双対の作用を見てq番目のフロベニウス自己準同型の跡を計算する。良く知られているハッセの不等式を使い有理点の個数が求まる。
本研究ではさらにqにのみ依存する事前計算を認めればより速く位数計算ができることを示した。この事前計算はNがたとえば500以下であるなら容易に実行できる。したがって事前計算のコストは実用上の応用には問題とならない。他方、事前計算によりフロベニウス置換を素早く評価することができる。これは時間計算量の増大度を少なくともNの平方根のオーダー分改良する。
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