有限群の表現とアソシエーションスキーム

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640012
• 研究機関: 東京医科歯科大学
• 研究代表者: 清田 正夫 東京医科歯科大学, 教養部, 教授 (50214911)
• 研究分担者: 和田 倶幸 東京農工大学, 工学部, 教授 (30134795) ; 野村 和正 東京医科歯科大学, 教養部, 教授 (40111645)
• キーワード: 有限群 / カルタン行列 / アソシエーションスキーム / シャープ指標

研究概要

1.有限群のカルタン行列については、多くの実例が和田により計算機を用いて求められた。またある種のp-可解群の無限系列のカルタン行列も和田により決定されている。これらの実例から、和田と清田は有限群のブロックに関するカルタン行列の最大固有値が整数であるとき、その値はブロックの不足群の位数に一致すると予想して、現在研究中である。この予想はp-可解群については未解決であるが、ブロックの不足群が(巡回群、2面体群、準2面体群、4元数群であるとか、正規部分群である等の)特別な条件を満たすときには、肯定的であることが証明された。これらの結果は、関連する結果とともに和田、清田の共著論文として現在、出版準備中である。この研究と関連して、和田とクルシャマー(独イエナ大)は、整係数正定値2次形式が与えられると、ブロックに属す既約指標の個数とカルタン行列の成分の間の不等式が得られることを証明した。A型の整係数正定値2次形式から生じる不等式は、和田が以前に得ていた不等式と一致する。これらの結果は、和田により符号・格子・頂点作用素代数と有限群研究集会(京都大学数理解析研究所、2001年2月)で口頭発表された。
2.清田はシャープ指標分類で使った議論を用いて、ある種の既約指標を持つ有限群の族を群構造論の立場から特徴付けた。これはZhmudの定理の拡張および証明の簡易化にあたっている。上記の既約指標がシャープ指標となる場合は清田、野沢により既に分類されている。上記の有限群の族を完全に分類することは、今後の研究課題である。これらの結果は、清田により有限群論草津セミナー(2000年8月)で口頭発表された。

研究成果

• [文献書誌] 清田正夫,鈴木寛: "Character products and Q-polynomial group association schemes"Journal of Algebra. 226. 533-546 (2000)
• [文献書誌] 野村和正,平木,鈴木: "Distance-regular graphs of valency 6 and a_1=1"Journal of Algebraic Combinatorics. 11. 101-134 (2000)
• [文献書誌] 野村和正,B.Curtin: "Distance regular graphs related to the quantum enveloping algebra sl (2)"Journal of Algebraic Combinatorics. 12. 25-36 (2000)
• [文献書誌] 野村和正,生田: "General form of non-symmetric spin models"Journal of Algebraic Combinatorics. 12. 59-72 (2000)
• [文献書誌] 野村和正,B.Curtin: "Spin models and strongly hyper-self-diail Bose Mesner algebras"Journal of Algebraic Combinatorics. (to appear).
• [文献書誌] 和田倶幸,B.Kuelshammer: "Some inequalities between invariants of blocks"Archiv der Mathematik. (to appear).