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k-代数Aアファイン空間のk-形式とは基礎体kをその代数的閉包Kまで拡大するとAはK上の多項式環になることである。1変数多項式環及び2変数多項式環を特にそれぞれアファイン直線及びアファイン平面のk-形式とよぶ。本研究の主要なテーマであるアファイン代数空間の下降問題とは、代数的な見地から述べると、アファイン代数空間のk-形式のk-代数としての構造を調べることである。この問題について知られていたことは次の二点である。まず第一に基礎体の標数が零のとき、アファイン直線及びアファイン平面のk-形式は多項式環に他ならない。次元が3以上については何も知られていない。第二に基礎体の標数が正のときは、自明でない、すなわち多項式環でない、アファイン直線のk-形式が存在する。この自明でない例は代数群の作用の作用に関連して見いだされたもので、知られていた例はこれ一つだけであった。特にこの例は平面曲線の関数環、すなわちk上2つの元で生成されている。
本年度は、まず始めにアファイン直線の自明でないk-形式の例の新しい構成法を見つけた。それらの例は、k上3変数多項式環の高さ2の3つの元で生成された素イデアルの剰余環として与えられる。さらにその定義イデアルの3つの生成元は具体的に記述する事が可能であり、特にこれらの例が平面代数曲線になるための必要十分条件として、この素イデアル完全交叉であることを得た。つぎに任意のアファイン直線のk-形式は上記の例とk-同型になることを証明した。
これらの結果はTagungsbericht 21/2000 Affine Algebraic Geometry Mathematisches Forschung sinstitut Oberwolfach p2-3にてその概要が報告されている。
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