| 研究分担者 |
山崎 洋平 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (00093477)
難波 誠 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004462)
山本 芳彦 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90028184)
小川 裕之 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (70243160)
藤原 彰夫 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30251359)
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| 研究概要 |
本研究の目的は,代数的な等質空間において数の幾何の理論とアデール解析的な手法を使い,整数点・有理点の分布状態や高さの評価を与えることであった.本年度の研究により,一般旗多様体の有理点の漸近分布について,次の事柄を示すことができた.
Kは有限次代数体として,GはK上定義された連結簡約可能代数群とする.GのK上定義された極大放物的部分群Qを取り,一般旗多様体X=Q＼Gを考える.XはK上定義された射影多様体であるが,そのK有理点の集合をX(K)で表す.GおよびQのアデール群をG(A), Q(A)として,そのユニモジュラー部分群をG(A)', Q(A)'で表す.G(A)'のQ(A)'による商空間をYで表せば,Y'はX(K)を含む局所コンパクト空間になる.G(A)の極大コンパクト部分群Mは自然にYに作用するが,その軌道空間Y/Mは実数直線と同型になる.そこで実数T(3E)160に対し,区間[-T, T]のYへの逆像をB(T)で表す.B(T)に含まれるXのK有理点の個数,すなわちN(T)=|B(T)∩X(k)|は有限である.今回得られた結果は,Tを大きくしていったときのN(T)の挙動に関するもので,それは
N(T)(8160)16ω(B(T))τ(Q)/τ(G) (T→∞)
で与えられる.ここでτ(G),τ(Q)はそれぞれGとQの玉河数を表し,ω(B(T))はY上の玉河測度ωに関するB(T)の体積を表す.ω(B(T))の値はGがK上分裂する場合,およびGが特殊直交群,特殊ユニタリ群などの場合にデデキントゼータ関数の特殊値などにより厳密に表示することができる.
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