代数群および有限群の表現とその応用の研究

2000 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640040
• 研究機関: 上智大学
• 研究代表者: 篠田 健一 上智大学, 理工学部, 教授 (20053712)
• 研究分担者: 中島 俊樹 上智大学, 理工学部, 講師 (60243193) ; 和田 秀男 上智大学, 理工学部, 教授 (10053662) ; 横沼 健雄 上智大学, 理工学部, 教授 (00053645) ; 後藤 聡史 上智大学, 理工学部, 助手 (00286759) ; 五味 靖 上智大学, 理工学部, 助手 (50276515)
• キーワード: character sum / gaussian sum / unitary Kloosterman sum / Hilbert scheme of G-orbit / Gelfand-Graev representation / coinvariant algebra / McKay corresondence

研究概要

(1)有限一般線型群のゼータ関数はT.A.Springer(1971),I.G.Macdonald(1985)により考察されたが、これを有限簡約群に拡張し、その関数等式とε-因子に関する一般的な結果を得た。さらにこれらはGelfand-Graev表現の交換子環の表現に応用できることも分かった。オレゴン大学のC.W.Curtisとも議論を重ねている。なお、ε-因子は対応する表現のガウス和であり、それについては斉藤直道(上智大)と研究を進めDeligne-Lusztig一般指標,R_<T,θ>,上ではその和がトーラス上の和として簡単に求まること、有限古典群に対しては、(T,θ)が一般の位置にある場合にはガウス和はクルスタマン和とユニタリクルスタマン和の積として表示できることを示した。なおSp(4,q)の全ての既約表現、およびG_2型の巾単既約指標に対するガウス和の簡潔な表示を得た。
(2)SL(3,C)の有限部分群Gに対しその余不変式環のポアンカレ多項式を具体的に求めた。正確にはS.S.-T.Yau and Y.Yu,Gorenstein singularities in dimension three,Memoirs of A.M.S.,503(1993)の記号でタイプ(C),(D)の特別な型およびタイプ(E)-(L)の有限群の場合にその全ての既約表現に対応する余不変式環のポアンカレ多項式(Molien series)を求めた。応用としてHilbert-Chow morphism π_G:Hilb^G(C^3)→C^3/Gの原点上のfiberをA_5,PSL(2,7)の場合に求めた。さらにSO(3)の有限部分群に対しては2次元の場合のMcKay対応と全く同じ現象が起きている事が分かった。
(3)さらに和田はユークリッド環上の一般線型群の"Hasseの原理",五味は組紐群、後藤はsubfactor理論のquantum doubleへの応用について、各々研究を進めた。

研究成果

• [文献書誌] N.Saito: "Character sums attached to finite reductive groups"Tokyo J.of Math.. 23. 373-385 (2000)
• [文献書誌] N.Saito: "Some character sums and Gauss sums over G_2(q)"Tokyo J.of Math.. (to appear).
• [文献書誌] Y.Gomi: "Hilbert schemes of G-orbits in dimension three"Asian J.of Math.. 4. 51-70 (2000)
• [文献書誌] F.Digne: "Presentation of pure braid groups"J.of Knot Theory and its Ramifications. (to appear).
• [文献書誌] H.Wada: ""Hasse principle" for GL_n(D)"Proc.Japan Academy. 76. 44-46 (2000)
• [文献書誌] S.Goto: "Quantum double construction for subfactors arising from periodic commuting squares"J.Math.Soc.Japan. 52. 187-198 (2000)