| 研究概要 |
(1)rigid geometryの枠組の中でのKummer-Artin-Schreier-Witt理論の展開,
(2)形式群の理論と関連したKummer-Artin-Schreier-Witt理論の具体的な記述,
(3)Kummer-Artin-Schreier-Witt理論とHasseのp^n-primary elementの理論との関係が研究目標であったが,(2)について目覚ましい結果を追加した.
Z[M]代数Aに対して,古典的なWitt vectorの構成を敷衍して,加法群W(A)の変形W^<(M)>(A)を定義していた.さて,Kummer-Artin-Schreier-Witt理論ではg^<(M)>_Aで記される代数群が重要な役割を持つが,g^<(M)>_Aのzero sectionに沿うformal completion g^^^^<(M)>_Aはformal group law f(X,Y)=X+Y+MXYを持つ形式群Spf A[[T]]に他ならない.W^<(M)>(A)がg^^^^<(M)>_Aのp-typical curveのなすCartier加群C(g^^^^<(M)>_A)に同型であることを示していたが,Z_<(p)>[Λ,M]代数Aに対して同型
Hom_<A-gr>(g^^^^<(Λ)>_A,g^^^^<(M)>_A)→^^〜Hom_<D_A>(W^<(Λ)>(A),W^<(M)>(A))
Ext^1_A(g^^^^<(Λ)>_A,g^^^^<(M)>_A)→^^〜Ext^1_<D_A>(W^<(Λ)>(A),W^<(M)>(A))
が存在する.εをg^^^^<(Λ)>_Aのg^^^^<(M)>_Aによる拡大とすれば,Cartier加群C(ε^^^)は W^<(Λ)>(A)のW^<(M)>(A)による拡大であるが,形式巾級数
G^^~^<(Λ)>_p(Z,U;T)=exp[Σ^^∞__<r=1>(Σ^^<r-1>__<k=0>"Φ_r(ΛU_0,...,ΛU_k,0,...,0)Φ_<r-k-1>(Z)>/Λ^<p^<r-k>>)""<Φ_r(T)>/P^r"]
を導入することによってC(ε^^^)=Hom_<A-gr>(W^^^_A,ε)の具体的な記述を得た.
現在,2次元の場合の詳細を<A note on extensions of algebraic and formal groups,V>としてまとめ,投稿中である.
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