| 研究概要 |
本研究では形式群の理論と関連したKummer-Artin-Schreier-Witt理論の具体的な記述について目覚ましい結果を得ていた.Kummer-Artin-Schreier-Witt理論ではg^<(M)>_Aで記される代数群が重要な役割を持ったが,g^<(M)>_Aのzero sectionに沿うformal completion g^^^^<(M)>_Aはformal group law f(X,Y)=X+Y+MXYを持つ形式群Spf A[[T]]に他ならない.AがZ_<(P)>代数である場合に,g^^^^<(M)>_Aのp-typical curveのなすCartier加群C(g^^^^<(M)>_A)の具体的な記述が主結果の一つであった.詳細は<A note on extensions of algebraic and formal groups, V>として刊行予定である.
さて,この研究の過程でKummer-Artin-Schreier-Witt理論と直接関係はないものの興味深い形式群の準同型や拡大の記述を得た.例えば,F(X,Y)=X√<1-4SY^2>+√<1-4SX^2>Yとおけば,F(X,Y)∈Z[S][[X,Y]].さらに,F(X,Y)はZ[S]の上のformal group law.G=SpfZ[S][[T]]をF(X,Y)によって乗法が定義される形式群とする.ここで,pを素数≠2とする.形式巾級数E^^~_P(U,Λ;T)∈Q[Λ,U][[T]]をE^^~_p(U,Λ;T)={√<1-(ΛT)^2-ΛT}^<U/Λ>Π^^∞__<k=1>{√<1-(ΛT)^<2p^k>>-(ΛT)^<p^k>}U^<p^k>-Λ^<p^<k-1>>(p-1)U^<p^<k-1>>/p^kΛ^<p^k>によって定義すれば,E^^~_p(U,Λ;T)∈Z_<(p)>[Λ^2,U][[T]]が示せる.したがって,E^^~_p(U,√<-4S>;T)∈Z_(p)[S,U][[T]].さらにΠ^^∞__<r=0>E^^~_p(U_r,√<-4S>^<p^r>;T^<p^r>)∈Z_<(P)>[S,U_0,U_1,U_2,…][[T]].
AをZ_<(p)>[S]代数とする.このとき,対応a=(a_0,a_1,a_2,…)→Π^^∞__<r=0>E^^~_p(a_r,√<-4S^<p^r>;T^<p^r)は同型Ker[F-[-4S]^<p-1/2>:W(A)→W(A)]→^^~Hom_<A-gr>(G, G^^^_<m,A>)を誘導する.
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