リー群とその類似空間の位相のホモトピー的側面からの研究

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640057
• 研究機関: 茨城大学
• 研究代表者: 大嶋 秀明 茨城大学, 理学部, 教授 (70047372)
• 研究分担者: 松久 富美子 茨城大学, 理学部, 助教授 (90194208) ; 卜部 東介 茨城大学, 理学部, 教授 (70145655) ; 柳田 伸顕 茨城大学, 教育学部, 教授 (20130768) ; 逸見 豊 高知大学, 理学部, 教授 (70181477) ; 森杉 馨 和歌山大学, 教育学部, 教授 (00031807)
• キーワード: リー群 / ホップ空間 / ホモトピー / 自己写像 / 階数 / 巾零指数 / サメルソン積 / コホモロジー作用素

研究概要

研究実施計画の役割分担に従って,下記の研究成果を得た.
1. 大嶋はGを階数が2以上の連結な単純リー群としたとき,Gの自己写像ホモトピー類群[G,G]の巾零指数の計算を目指した.前年に引き続き主に次の予想を研究した:
強予想:nil[G,G]【greater than or equal】rank(G).
弱予想:nil[G,G]【greater than or equal】2.
強予想についてはSU(4),Spin(7)では成り立つことを示した.また,nil[E_8,E_8]【greater than or equal】5など,その他若干の結果も得た.弱予想については,古典型ではSpin(n)/C(n≠4m;Cは中心部分群)についてのみ不明で,例外型ではE_6/Z_3,E_7/Z_2についてのみ不明であるが,その他については成立することを示した.
2. 柳田は無限次元一般線型群SL(Z)の整係数コホモロジーの計算,及び,SL(C)への自然な写像から誘導されるチャーン類を計算した.ある特定な次元のコホモロジーが消えている場合には,H空間の組でホモトピー正規性が成立するのは,良く知られているものだけである,という結果を以前得ていた.これに関連して,コホモロジーが消えていない場合でもホモトピー正規なものが存在することを,例を構成することにより,示した.
3. 逸見は奇素数pに対してp次の非安定mod pコホモロジー作用素を定義し,それを用いて,ある種のコホモロジーを持つH空間は存在しないことを示した.また,Williamsによって与えられたH空間の積の高位ホモトピー可換性の定義を,高位ホモトピー結合的H空間に対して拡張した.さらに,それを用いて,有限生成コホモロジー環を持つH空間に関するmod pトーラス定理を得た.

研究成果

• [文献書誌] H. Oshima: "Non commutativity of self homotopy groups"Kodai Math. J.. 24. 15-25 (2001)
• [文献書誌] H. Oshima: "Multiplications on a localized Hopf space"Math. J. Ibaraki Univ.. 33. 17-21 (2001)
• [文献書誌] M. Arkowitz, H. Oshima, J. Strom: "Non commutativity of the group of self homotopy classes of classical simple Lie groups"Topology and its applications. (印刷中).
• [文献書誌] D. Arlettaz, C. Ausoni, M. Mimura, N. Yagita: "Integral cohomology and Chern classes of the special linear group over the ring of integers"Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.. (印刷中).
• [文献書誌] K.Morisugi: "Composition sturcture of the self maps of SU(3) and Sp(2)"Contemporary Math.. 274. 233-240 (2001)
• [文献書誌] Y. Hemmi: "Unstable p-th order operation and H-spaces"Contemporary Math.. (印刷中).