三次元多様体の表示とそこから導かれる幾何的情報について

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640071
• 研究機関: 奈良女子大学
• 研究代表者: 小林 毅 奈良女子大学, 理学部, 教授 (00186751)
• 研究分担者: 片桐 民陽 奈良女子大学, 理学部, 助教授 (60263422) ; 山下 靖 奈良女子大学, 理学部, 講師 (70239987) ; 落合 豊行 奈良女子大学, 人間文化研究科, 教授 (70016179)
• キーワード: Heegaard splitting / 三次元多様体 / 結び目 / トンネル数 / Dehn twist / リッチ曲率 / アインシュタイン計量

研究概要

1.三次元多様体のgraphic
小林はRubinstein-Scharlemannによって定義されたgraphicを用いることにより、2橋結び目の外部空間のHeegaard splittingを全てのgenusで完全に分類することに成功した.
2.結び目の外部空間を用いたHeegaard分解のstrong irreducibilityの局所定判定法
小林はYo'av Rieckと共同でstrongly irreducible Heegaard分解と三次元球面内の非自明結び目の外部空間との交わりついて解析しそれは結び目の外部空間内のmeridional annulusの和集合になることを証明した.
3.森元予想に関する研究
小林は三次元多様体内の結び目の連結和とそのトンネル数に関する森元予想をm-smallな結び目に関して考察した.
4.Heegaard分解の接着写像のDehn twistへの分解アルゴリズム
落合は,与えられたHeegaard分解を実現する,閉曲面上の向きを保つ自己同相写像を,標準的なDehn twistの積に分解するためのアルゴリズムを種数2のHeegaard分解に対して与えた.
5.Riemann多様体の計量のmoduli
アインシュタイン計量(3次元多様体上では定曲率計量)は全スカラー曲率汎関数の臨界点として特徴付けられる.片桐は,スカラー曲率よりも情報を多く含むリッチ曲率を用いたリーマン汎関数について考察した.アインシュタイン計量はこの汎関数の臨界点となるがそれ以外にも存在することを示した.また臨界点がアインシュタイン計量となる十分条件を与えた.

研究成果

• [文献書誌] Mikami Hirasawa: "Pre-taut sutured manifolds and essential laminations"Osaka J.Math.. 38. 905-922 (2001)
• [文献書誌] Tsuyoshi Kobayashi: "Heegaard splittings of exteriors of two bridge knots"Geometry and Topology. 5. 609-650 (2001)
• [文献書誌] Y.Sakata: "Twist Decompositions of Gluingn Homeomorphisms of Planar Heegaard Diagrams of Genus Two"Proc.Amer.Math.Soc.. 129. 559-566 (2001)
• [文献書誌] Mitsuyuki Ochiai: "Computational Decomposition of Homeomorphisms of Planar Heegaard Diagrams"Far East J.Math.Sci.. 2. 869-895 (2001)
• [文献書誌] Minnyou Katagiri: "On critical Riemannian metrics for a curvature functional on 3-manifolds"Proceedings of the Japan Academy. 78. 43-45 (2002)
• [文献書誌] Y.Yamashita: "Configuration spaces of points on the circle and hyperbolic Dehn fillings II"Geometreae Dedicata. 89. 143-157 (2002)