| 研究概要 |
前年度からの継続の問題として,2次元複体のCohn-Vossen型定理や,空間グラフの最小全曲率とtight性の場合等については,論文の修正等を行った.多面体のGaussの驚異の定理,多面体のWyel型体積公式,多面体のBonnesen型不等式等については,執筆中である.
関連する新たな問題としては,Essential cut locus,最小跡内のcycleの長さ,鋭角三角形分割等があるが,全て萌芽的で研究継続により,今後の大きな進展が望まれる.
Essential cut locusに関しては,局面で距離関数の臨界点を全て含む最小跡の本質的な部分として定義し,その端点の個数や頂点での次数の評価をした.また,一般次元の凸多面体表面でもそのの構造しついて考察した.
最小跡内のcycleの長さに関しては,直径1の局面の最小跡のcyclesの長さを下から評価する問題で,トーラスの場合は2より大きく(最良の評価),上からは評価できないことを示した.
Voronoi領域の面の個数評価に関しては,Hadamard多様体内のVoronoi領域は,n点の最小跡と一致することを用いて,その面の個数評価を行った.
鋭角三角形分割に関して,今年度は正12面体の場合に14個の鋭角三角形分割の存在と,11個以下の非存在が示された.新たに得られた結果として,正20面体の鋭角三角形分割の存在とそれが最小個数であることが分かった.また,凸局面を扱ういくつかの基本的アイデアを得た.
球面上の曲線の全曲率に関しては,始点,終点,始方向,終方向と長さを与えたときの全曲率最小の曲線を決定する問題であり,与える条件に少しの制限がある場合には,大円弧,小円弧,大円弧の部分からなる曲線であることを示した.
凸曲面の最遠点に関しては、凸曲面において,ある点の最遠点となり点の和集合と,どの点の最遠点ともなりえない点の和集合との性質について考察し,立方体表面,直方体表面で具体的にそれらの境界を決定した.
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