| 研究概要 |
(4n+3)次元多様体上の幾何構造(Quaterninic Carnot-Caratheodory構造とよぶ)を定義してWeylの共形性に対応する不変量とその一意化(uniformization)を与えた.この発想は奇数次元多様体上のCR-構造のときの一般化になっている.そして,CR-構造のときに,Chern-Moser曲率形式がその不変量であって消滅はSpherical CR-幾何を実現するという事実に注目して,Quaterninic Carnot-Caratheodory構造においても不変量としての曲率形式を構成し,その消滅により多様体M^<4n+3>はSpherical pseudo-quaternionic幾何(PSp(n+1,1),S^<4n+3>)に一意化されることをみた.従って,M^<4n+3>の普遍被覆空間はS^<4n+3>へ展開され,基本群はPSp(n+1,1)へ表現される.Spherical CR-多様体のときの結果をふまえて,Spherical pseudo-quaternionic多様体の特徴付けに成功した(特に基本群,ホロノミー群の非存在に関する特徴).このSpherical pseudo-quaternionic幾何学は階数1の半単純対称空間のコンパクト化として得られる,つまり四元数双曲空間とそのisometry群(PSp(n+1,1),H^<n+1>_H)は自然にその境界である球面S^<4n+3>にsmoothな作用として拡張し,群PSp(n+1,1)は球面S^<4n+3>に推移的に作用するためその作用をAut_<QC>(S^<4n+3>)と書いて,幾何学(Aut_<QC>(S^<4n+3>),S^<4n+3>)が実現される.我々の構成した曲率形式(テンサー)TはQuaterninic Carnot-Caratheodory構造に対して共形不変であることを示した.そしてその消滅によるSpherical pseudo-quaternionic幾何学への一意化はWey1共形曲率テンサー,Chem-Moser曲率テンサーの消滅がそれぞれ共形多様体,CR多様体を共形平坦多様体,Spherical CR多様体にすることと対応し,実,複素,四元数双曲幾何の等長変換の境界挙動(作用)がそれぞれ共形変換,CR変換,Pseudo-quaternionic変換であると特徴づけることができ,階数1の半単純対称空間のコンパクト化としての境界の上の共形幾何学(Parabolic幾何学)を構成することに成功した.
|
