|
4次元空間内に埋め込まれた曲面を3次元空間に射影すると一般には交わりを持つ曲面が得られる。その交わりで紙がちょうど3枚交わっている点、3重点の最少の数をある結び目曲面に対して決定した。3重点についての研究で、向き付け不可能な曲面に対しては最小な3重点の数が決まるものが多く知られている。また3重点の最小数が1個である曲面は存在しないことが知られている。これらは佐藤進氏の研究による。また任意の自然数に対してその数を越えるような最小な3重点をもつ結び目曲面は鎌田氏によって構成された。しかし、よく知られている向き付け可能な曲面に対してでも、最小な3重点の数がいくつなのかはあまりよく知られていない。今回は3重点をもつ結び目曲面の内もっとも簡単と思われている、三葉結び目の2-ツイスト スパン結び目曲面について、その最小3重点数は4個であることを決定した。使った手法としては最近発見されたState-sum不変量を用いる。State-sum不変量はquandleから決まる不変量である。このquandleを特にAlexander quandleとしたとき、古典的な不変量Alexander多項式の値が消えていたらこのState-sum不変量が消えている事を以前示した。逆にState-sum不変量が消えていなければ複雑な絡み方をして、3重点の数も多いだろうと考えられた。そこで、3重点の数が3個以下ならばState-sum不変量の値はある特定の値、整数しかとらない事を示し、三葉結び目の2-ツイストスパン結び目曲面は整数でない値をとり、3重点の数が4個以上であることを示した。また佐藤進氏により、実際4個の3重点を持つ形で描けることがわかり、最小な3重点の数が4個あることが分かった。他にもいろいろな最小な3重点の数が4個である向き付け可能な曲面を構成した。
|
