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4次元空間内に埋め込まれた曲面を3次元空間に射影すると一般には交わりを持つ曲面が得られる。その交わりで紙がちょうど3枚交わっている点、3重点の最少の数について研究している。3重点について今まで知られていた事は3重点の最小数が1個である曲面は存在しないこと(これは佐藤進氏の研究による)や、任意の自然数に対してその数を越えるような最小な3重点をもつ結び目曲面は鎌田氏によって構成された。しかし、よく知られている向き付け可能な曲面に対してでも、最小な3重点の数がいくつなのかはあまりよく知られていない。去年は3重点をもつ結び目曲面の内もっとも簡単と思われている、三葉結び目の2-ツイストスパン結び目曲面について、その最小3重点数は4個であることを決定した。これを示すために最近発見されたState-sum不変量を用いた。State-sum不変量はquandleから決まる不変量である。使ったquandleは位数が3のdihedral quandleを用いた。示す方法は3重点の数が3個以下ならばstate-sum不変量の値はある特定の値、整数しかとらない事を示し、三葉結び目の2-ツイストスパン結び目曲面は整数でない値をとり、3重点の数が4個以上であることを示した。また佐藤進氏により、実際4個の3重点を持つ形で描けることがわかり、最小な3重点の数が4個あることが分かった。今回は3以上の奇数nに対して、位数がnのdihedral quandleから決まるState-sum不変量の値が整数値を取なければ、その曲面結び目の3重点の数が4個以上であることを示した。またquandleをS_4と呼ばれるものに限ったとき、State-sum不変量の値整数でない値をとり得るためには最低3重点が何個必要かどうかを調べる方程式を立てて、その計算を計算機で行うプログラムを作った。その結果最低3重点が6個は必要であることが示せた。またこの結果を用いて三葉結び目の3-ツイストスパン結び目曲面について、その最小3重点数は6個であることを決定した。
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