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4次元空間に埋め込まれた曲面を研究するので、一つの方法として平面に上のグラフで辺に向きが付き、辺にラヴルが付いて、ある条件を満たすもの(chartと呼ばれているもの)がある。これは4次元にある曲面を3次元に射影して、出来た曲面の交わりを更に平面に射影して出来たグラフと対応している。頂点として次数が1のもの、次数が4のもの(これをcrossingと呼んでいる)、次数が6のもののみからなるグラフであるn-chartと呼ばれるものは辺にラベルが1からn-1のどれかが付いている。次数が6の頂点をwhite vertexという。white vertexが最小であるminimal chartを調べるにあたり、そのchartの性質について調べた。2角形の形をしているsubgraphを含むとき、その部分がある条件を満たすとする。すると、その2角形の内部に少なくとも3個のwhite vertexが含まれることを示した。その事実を使うことにより、minimal 4-chart内にはある条件を満たす2角形が存在しないと示された。他にも色々な性質を示した。これらの性質を用いて、white vertexを7個もつminimal chartが存在しない事を示した。3個または5個のwhite vertexをもつminimal chartが存在しないことは知られていた。このことより、奇数個のwhite vertexが存在するか否かの研究に1歩足がかりが出来たようである。この応用で、white vertexを6個もつchartの具体例が見つかった。これらがminimalかどうか研究することも今後の課題である。
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