| 研究概要 |
本研究の主目標である接触変換に対するシュワルツ微分の概念の確立に関し,十分な成果を上げることができたが,具体的には次のものである:
(1)接触変換を構成するための偏微分方程式系(基本方程式系)を得た,(2)基本方程式系が可積分であるための必要十分条件を得た,(3)基本方程式系の係数が接触変換のシュワルツ微分として種々の性質を持つことを確かめた.
上記(2)の解決の為に用いた方法と,更に(1)の基本方程式系の解空間が幾何構造を持つことなどが共形変換の場合にも適用できることがわかり,それにより共形構造に関するシュワルツ微分と基本方程式系の導出も可能となった.また,この場合の可積分条件に共形曲率が現れることがMaurer-Cartan形式を用いることにより容易に確かめられるようになった.
無限小接触変換に対するシュワルツ微分に関して,基本方程式系,可積分条件,解空間の幾何構造等の考察を,上記と類似の結果を得ることができた.また,無限小変換全体のなすリー環に対して,シュワルツ微分があらわすコホモロジーの元についても考察を行った.
上記リー環の中にあるハイゼンベルグ部分環の働きについても考察を行い,その結果として接触構造の上部構造であるCR-構造にもこれらのことが応用できる可能性の示唆と,理論の枠組みに対する予想が得られたが,それらの確立は今後の研究課題としたい.
共形構造に関する結果は,論文"Conformal Schwarzian derivative and differential equations"(名古屋大学多元数理研究科佐藤肇氏との共著)として,現在投稿中である.
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