アフィン幾何・射影幾何の現代的研究とその応用

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640097
• 研究機関: 福岡大学
• 研究代表者: 黒瀬 俊 福岡大学, 理学部, 助教授 (30215107)
• 研究分担者: 山田 光太郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10221657) ; 濱田 龍義 福岡大学, 理学部, 助手 (90299537) ; 陶山 芳彦 福岡大学, 理学部, 教授 (70028223) ; 古畑 仁 北海道大学, 大学院・理学研究科, 講師 (80282036) ; 井ノ口 順一 宇都宮大学, 教育学部, 助教授 (40309886)
• キーワード: アフィン微分幾何 / 実超曲面 / 共形平坦超曲面 / ワイエルストラス型表現公式 / 極小曲面 / 情報幾何 / 統計多様体 / チェビシェフ・ベクトル場

研究概要

本研究では、研究の主対象である古典的微分幾何学、研究手法としての可積分系の理論、研究の応用対象としての情報幾何に関して、以下のような成果を得た。
1.古典的微分幾何学 主としてアフィン幾何・複素空間型内の実超曲面の幾何・球面内の共形平坦な超曲面・双曲型空間内の曲面について、個別にあるいは共同して研究を行い、以下のような成果を得た。
(1)アフィン極小超曲面、中心アフィン極小超曲面、余次元2の極小中心アフィンはめ込み等が誘導する統計構造の特徴づけ、および中心アフィン超曲面の体積変分問題の再定式化を行い、さらに中心アフィン極小超曲面とアフィン超球面との関係を調べた。
(2)複素空間型の実超曲面に対してリッチ*-テンソルの対称部分が*-アインシュタインとなるホップ実超曲面を決定した。
(3)4次元球面内の共形平坦な超曲面に対し、新しい共形不変量を定義し、これを用いて古典例を特徴づけ、さらにこれまで知られていなかった新しい例を構成した。
(4)3次元双曲型空間において、正則右ガウス写像を持つ曲面および平坦な曲面に対する表現公式を与え、具体例の構成を行った。
2.可積分系の理論 3次元可解リー群の極小曲面の表現公式を与え、特殊線形群の極小曲面でガウス写像が調和であるものを決定した。また、平均曲率を0とする極限操作で非線形ダランベール公式が通常のものに退化することを示した。
3.情報幾何と統計多様体 スペシャル・ケーラー多様体の拡張として、統計構造に適合する複素構造が与えられた統計多様体の基本的な性質を調べた。また、統計多様体上の等積構造と統計的推測理論との関係を調査し、最尤推定量とベイズ推定量との差をチェビシェフ・ベクトル場を用いて特徴づけた。

研究成果

• [文献書誌] Takashi Kurose: "Conformal-projective geometry of statistical manifolds"The Interdisciplinary Information Sciences. 8. 89-100 (2002)
• [文献書誌] Tatsuyoshi Hamada: "Real hypersurfaces of complex space forms in terms of Ricci *-tensor"Tokyo Journal of Mathematics. 25. 473-483 (2002)
• [文献書誌] Masatoshi Kokubu, Masaaki Umehara, Kotaro Yamada: "An elementary proof of Small's formula for null curves in PSL(2,C) and an analogue for Legendrian curves in PSL(2,C)"Osaka Journal of Matheamtics. (to appear).
• [文献書誌] A.Fujioka, J.Inoguchi: "Timelike Bonnet surfaces in Lorentzian space forms"Differential Geometry and its Application. 18. 103-111 (2003)
• [文献書誌] J.Inoguchi: "Minimal surfaces in 3-dimensional solvable Lie groups"Chinese Annals of Mathematics Ser. B. 24. 1-12 (2003)
• [文献書誌] J.Inoguchi: "Invariant minimal surfaces in the real special linear group of degree 2"Italian Journal of Pure and Applied Mathematics. (to appear).
• [文献書誌] Hitoshi Furuhata, Takashi Kurose: "Self-dual centroaffine surfaces of codimension two with constant affine mean curvature"Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin-. (to appear).
• [文献書誌] Hiroshi Matsuzoe: "Voronoi diagrams on (-1)-conformally flat statistical manifolds"Far East Journal of Mathematical Sciences. 4. 235-249 (2002)
• [文献書誌] Hiroshi Matsuzoe: "Contrast functions on statistical manifolds with Norden metric"JP Journal of Geometry and Topology. 2. 97-116 (2002)
• [文献書誌] H.Matsuzoe, J.Inoguchi: "Statistical structures on tangent bundles"Applied Sciences. 5. 55-75 (2003)
• [文献書誌] C.T.J.Dodson, H.Matsuzoe: "An affine embedding of the gamma manifold"Applied Sciences. 5. 7-12 (2003)
• [文献書誌] 梅原雅顕, 山田光太郎: "曲線と曲面-微分幾何的アプローチ-"裳華房. 224 (2002)