2階のヴェンチェル境界条件をもつ拡散過程に対する解析的アプローチとその応用

2001 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640111
• 研究機関: 金沢大学
• 研究代表者: 土谷 正明 金沢大学, 工学部, 教授 (50016101)
• 研究分担者: 河上 肇 秋田大学, 工学資源学部, 助教授 (20240781) ; 金川 秀也 金沢大学, 工学部, 教授 (50185899) ; 勘甚 裕一 金沢大学, 工学部, 教授 (50091674)
• キーワード: 拡散過程 / ヴェンチェル境界条件 / 基本解 / ディリクレ形式 / 確率微分方程式 / 数値解法 / ハウスドルフ作用素 / ペーリー不等式

研究概要

本研究において以下の結果を得た.
1.2階のヴェンチェル境界条件をもつ拡散過程の確率密度を対応する拡散方程式の基本解として古典的な方法で構成しそれが確率密度になっていることを確かめた.これは基本解の滑らかさが境界上で落ちている可能性があるため,領域の近似およびその上の拡散過程の収束等の議論が必要になる.さらに境界上の局所時間のポテンシャルについての基本解を用いた明示公式を与えた.それにより境界条件が1階のときと短時間における局所時間の振る舞いの違いを見ることができるようになった.これらの結果は投稿すべく準備中である.
2.上記に述べた基本解の構成のために必要な整数次数ではない滑らかさを持つ多様体のスムージングおよびホイットニートポロジーの基本性質についての結果を得て学術誌に公表した.
3.ディリクレ形式に対応したマルコフ過程の収束について調べた.特に極限過程のディリクレ形式の基礎の測度が退化する場合をも込めて考察し,更に極限過程の満たす微積分方程式および境界条件を与えて解析的な特徴付けも示した.これは小倉氏および富崎氏との共同研究で得た結果であり学術誌に受理され印刷中である.
4.ハーディ空間のハウスドルフ作用素やヤコービ展開におけるペーリーの不等式についての結果および確率微分方程式の数値解法についての結果をそれぞれ学術誌の公刊した.

研究成果

• [文献書誌] Y.Ogura, M.Tomisaki, M.Tsuchiya: "Convergence of local type Dirichlet forms to a non-local type one"Annales de L'Institut Henri Poincare ; Probabilites et Statistiques. (印刷中).
• [文献書誌] H.Kawakami. M.tsuchiya: "C^∞ smoothing of manifolds of fractional order and basic properties on the Whitney topology of the Holder maps"International Journal of Applied Mathematics. 6・3. 319-340 (2001)
• [文献書誌] Y.Kanjin: "The Hausdorff operators on the real Hardy spaces Hp(R)"Studia Mathematica. 148・1. 37-45 (2001)
• [文献書誌] Y.kanjin, K.Sato: "Paley's inequality for the Jacobi expansions"Bulletin of the London Mathematical Society. 33・4. 483-491 (2001)
• [文献書誌] 金川秀也, 小川重義: "確率微分方程式の数値解法(応用編)"数学(日本数学会機関紙). 53・2. 125-138 (2001)