| 研究概要 |
幾何ブラウン運動の時間に関する積分によって定義されるウィナー汎関数は数理ファイナンス,双曲空間上の解析において重要な役割を果たす.そのブラウン運動との結合分布はYORの公式として知られているが,さらに進んで応用する場合には,類似の指数型汎関数をもう1つ考えて3次元の同時分布の形が必要になる.その具体形がラプラス変換の形で求まることを示し,以前の研究ではできなかったマースのラプラシアンの熱核の具体形の計算,数理ファイナンスのあるモデルへの応用などとともに発表した.
さらに上の結果を応用して,実双曲空間だけでなく,複素数,四元数に対応する双曲空間上の熱核およびグリーン関数の具体形を示すことに成功し発表した.熱核は実双曲空間上の熱核の積分によって,またグリーン関数は特殊関数を用いて具体的に書けることが分かった.表現論への応用,調和解析との深い関連があると思われるが,結果の深い意味については不明な点もあり,現在も研究を続けている.この結果のみならず,研究の過程において現れる等式はセルバーグ跡公式の証明に応用できると思われる.これについても研究を続けている.
上に述べたウィナー汎関数からラプラス法を用いてブラウン運動の最大値過程が得られ,最大値過程に関するレヴィ,ピットマンの定理の類似,拡張を示すことができる.そこでは逆ガウス分布が重要な役割を果たす.今年度は,この役割が見やすい形で結果を定式化して証明し発表した.また,ピットマンの定理と同様我々の拡張においても,考える確率過程の張るフィルトレーションはもとのブラウン運動のものより小さいことが分かる.その原因に関して詳しく述べ,ウィナー空間上の非線形変換に関する測度の変換公式であるラメール・楠岡の公式の具体例を使った結果の別証明とともに発表した.
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