| 研究概要 |
フラクタル集合の断面の次元を特徴づける次元スペクトルは,線型セルオートマトンの時空間パターンに対して得られていたが,これは全ての方向に対して縮小率が等しいフラクタルである部分自己相似集合の1つになっている.方向によって縮小率の異なるフラクタル集合として,McMullenのカーペットを拡張した,複数のパターンからなる2次元の自己アファイン集合を考え,その次元スペクトルについて調べた.自己アファイン集合の断面の次元は,縮小率のより大きい軸上のあるソフィック測度の特異性と対応する.パターンの包含関係を表す遷移行列が既約のとき,特異性スペクトルの最大を与える特異性の値以下では,特異性スペクトルはソフィック測度の自由エネルギーをルジャンドル変換したもので与えられることがわかった.この結果を,次元スペクトルに対して解釈し直すと,遷移行列が既約な自己アファイン集合では,次元スペクトルの最大値を与える次元以上での次元スペクトルの値は,自由エネルギーの変型ルジャンドル変換で与えられることになる.これは,通常のルジャンドル変換とは異なり,変数とパラメータの積の項に,それぞれの方向の縮小率の対数の比をかけたものである.y軸上のソフィック測度から構成されたギブス測度を自己アファイン集合上に引き戻した測度を使うと,次元スペクトルの変分公式から自己アファイン集合のハウスドルフ次元が逆温度が縮小率の対数の比のときの自由エネルギーの値として与えられることがわかる.
多次元の自己アファイン集合ではその上の自然な測度を軸方向に射影しギブス測度を構成するという操作をくり返すことにより,階層的にソフィック測度とそのギブス測度を構成することができる.それぞれの段階でのギブス測度の逆温度は独立に選ぶことができ,この測度から作られる自由エネルギーが,多変数マルチフラクタル関数の候補となることが予想される.
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