| 研究概要 |
マルチフラクタルの研究では、特異性スペクトルが自由エネルギーのルジャンドル変換で与えられるという,マルチフラクタル公式が重要な役割を果たす.マルチフラクタル公式はこれまでベルヌーイ測度,マルコフ測度,半群測度,あるいはヘルダー連続なポテンシャルのギブス測度などの準乗法的性質を持つ測度に対して厳密に証明されてきた.
フラクタル集合の断面の次元の分布を特徴づける次元スペクトルと,フラクタル集合上の自然な測度を軸上に射影した測度の特異性スペクトルを関連づけることにより,準乗法的性質を持たない測度に対してもマルチフラクタル公式が示される.
これまでのマルチフラクタル関数は1変数関数であるが,フラクタル集合上の測度の射影を使って,2変数のマルチフラクタル関数を以下のようにして定義した.3次元自己アファイン集合上の自然な測度を,縮小率の小さな2つの軸(xとyとする)で張られる2次元平面状に射影する.x軸上の点の集合で,その点を通りx軸に垂直な直線状の点でもとの測度の特異性がある特定の値をとる点の集合を考え,相対測度が別の特異性となるようなある性質を持つ測度が存在するようなものを考える.この2つの特異性に対して,特異性スペクトルを上述のx軸上の点の集合のハウスドルフ次元で定義する.2つの逆温度パラメータに対する自由エネルギーは,シリンダー集合の測度を逆温度の比でべき乗し,y軸方向に加え,さらに最初の逆温度でべき乗し,x軸方向に加えたものの対数をとり,シリンダー集合のx軸方向の幅の対数でわったもののシリンダーサイズを小さくした極限とする.このように定義した2変数特異性スペクトルは,2変数自由エネルギーのルジャンドル変換と一致する.これまでの1変数のマルチフラクタル関数に対するマルチフラクタル公式が2変数マルチフラクタル関数に対して拡張された.
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