| 研究概要 |
フラクタル集合の断面の次元を特徴づける次元スペクトルは,これまでセルオートマトンのリミットセット,自己アファイン関数,2次元の自己アファイン集合に対して定義され,自由エネルギーのルジャンドル変換で与えられること,および断面の次元と次元スペクトルの和の最大値が集合全体のハウスドルフ次元を与えることなどが示されてきた.
3次元自己アファイン集合に対して2変数の次元スペクトルおよび自由エネルギーを以下の手順で構成し,その性質を調べた.次元スペクトルH(δ_1,δ_2)は,xy平面に垂直で点(x,y,0)を通る直線と自己アファイン集合との共通部分のボックス次元がδ_2となるようなyの集合のハウスドルフ次元がδ_1となるような点xの集合を考え,そのハウスドルフ次元として与えられる.2変数の自由エネルギーΨ(β_1,β_2)はアファイン縮小変換の個数をz軸方向に加えてβ_2/β_1乗し,それをy方向に加えてβ_1乗し,x軸方向に加えて対数をとったものを,x軸方向の縮小率の逆数の対数で割ったものである.
3次元自己アファイン集合上の自然な測度をz軸方向に射影し,xy平面上の測度を構成し,その2変数特異性スペクトルを考えると,2変数次元スペクトルと一致する.2変数特異性スペクトルに対するマルチフラクタル公式から,次元スペクトルが自由エネルギーの変形ルジャンドル変換(変換前と変換後の変数の積に方向により異なる縮小率の対数の比をかける)で与えられることが示された.またこのことを使って2つの次元とその次元スペクトルとの和の最大値として3次元自己アファイン集合のハウスドルフ次元が表わされることがわかった.
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