2001 年度実績報告書

連続体の基数不変量とその応用

研究課題

研究課題/領域番号	12640124
研究機関	神戸大学
研究代表者	BRENDLE JORG 神戸大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (70301851)
研究分担者	江田勝哉早稲田大学, 理工学部, 教授 (90015826) 高橋譲嗣神戸大学, 発達科学部, 教授 (30197149) 角田譲神戸大学, 工学部, 教授 (50031365) 渕野昌中央大学, 工学部, 教授 (30292098) 加茂静夫大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (30128764)
キーワード	強制法の理論 / 無限組合せ論 / 実数上の集合論 / 連続体の基数不変量 / 自然集合上の置換群
研究概要	平成13年度は、反復強制法を用いて連続体の基数不変量を調べ、さらにそれらの代数学への応用についての研究も行った。特に、S.Shelahが創造したiteration along a templateという反復法を改良し、またshattered iterationという新しい技法を開発させた。研究の概略は以下の通りである。 (1)iteration along a template. Fの全ての異なった元の共通部分が有限集合になるとき、無限集合族Fはalmost disjoint familyと呼ばれる。Almost disjointness number aは、自然数上の最小の無限なmaximal almost disjoint familyの濃度として定義される。また、Gの全ての非恒等元がたかだか有限個の不動点を持つとき、Sym(ω)の部分群Gはcofinitaryと呼ばれる。最小のmaximal cofinitary groupの濃度をa(g)で表す。Iteration along a templateを使い、a(g)>max{a, non(M)}が無矛盾であることを証明した。更に、aの共終度が可算になることの無矛盾性も示した。 (2)shattered iteration. Cohen実数とランダム実数を加える複雑なプール代数系から成るshattered iterationという新しい反復手法を開発し、cov(M)=non(N)=N_2かつcov(N)=non(M)=N_3であることの無矛盾性を証明し、Millerの問題(本研究計画の問題1)に答えた。 (3)Sym(ω)の共終度。自然数集合上の置換群Sym(ω)の共終度c(Sym(ω))はG(α)から成る和集合がSym(ω)と等しいSym(ω)の真部分群の昇鎖G(α),α<κ,が存在するような最小の基数κである。また[ω]^ωの部分集合Gがgroupwise dense familyであるとは、次の二つの条件を満たすときにいう。(a)任意のX∈G, Y∈[ω]^ωに対して、Y almost contained in XならばY∈Gとなる。(b)任意のωの有限区間への分割I(n), n<ω,に対して、I(n),n∈A,から成る和集合がGの元であるA∈[ω]^ωが存在する。Groupwise density number gは、G(α)の共通部分が空集合となるgroupwise dense familiesの族G(α),α<λ,が存在するような最小の基数として定義される。MildenbergerとShelahはg<c(Sym(ω))の無矛盾性を証明した。本研究では、ZFCのもとでg【greater than or equal】c(Sym(⊃))を示し、Thomasの問題の後半(本研究計画の問題5の部分)に答えた。

研究成果

(16件)

すべてその他

すべて文献書誌 (16件)

[文献書誌] JORG BRENDLE: "CARDINAL INVARIANTS OF THE CONTINUUM, A SURVEY"京都大学数理解析研究所講究録「公理的集合論」. 1202. 7-32 (2001)
[文献書誌] JORG BRENDLE: "EVASION AND PREDICTION III, CONSTANT PREDICTION AND DOMINATING REALS"JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN. (近刊予定).
[文献書誌] JORG BRENDLE: "EVASION AND PREDICTION IV, STRONG FORMS OF CONSTANT PREDICTION"ARCHIVE FOR MATHEMATICAL LOGIC. (近刊予定).
[文献書誌] JORG BRENDLE: "RECENT DEVELOPMENTS IN ITERATED FORCING THEORY"COMPLEXITY IN MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE (PROCEEDINGS, VIENNA, 2001). (近刊予定).
[文献書誌] JORG BRENDLE: "MAD FAMILIES AND ITERATION THEORY"LOGIC AND ALGEBRA (PROCEEDINGS, ISTANBUL, 2001). (近刊予定).
[文献書誌] KATSUYA EDA: "TREES, FUNDAMENTAL GROUPS AND HOMOLOGY GROUPS"ANNALS OF PURE AND APPLIED LOGIC. 111. 185-201 (2001)
[文献書誌] KATSUYA EDA: "FUNDAMENTAL GROUPS OF ONE-DIMENSIONAL WILD SPACES AND THE HAWAIIAN EARRING"PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 130. 1515-1522 (2002)
[文献書誌] KATSUYA EDA: "ON HOMOLOGICAL LOCAL CONNECTIVITY"TOPOLOGY AND ITS APPLICATIONS. (近刊予定).
[文献書誌] KATSUYA EDA: "THE NON-COMMUTATIVE SPECKER PHENOMENON IN THE UNCOUNTABLE CASE"JOURNAL OF ALGEBRA. (近刊予定).
[文献書誌] KATSUYA EDA: "THE FUNDAMENTAL GROUPS OF ONE-DIMENSIONAL SPACES AND SPATIAL HOMOMORPHISMS"TOPOLOGY AND ITS APPLICATIONS. (近刊予定).
[文献書誌] KATSUYA EDA: "FREE SUBGROUPS OF FREE COMPLETE PRODUCTS"JOURNAL OF ALGEBRA. (近刊予定).
[文献書誌] SAKAE FUCHINO: "ON THE WEAK FREESE-NATION PROPERTY OF P(ω)"ARCHIVE FOR MATHEMATICAL LOGIC. 40. 425-435 (2001)
[文献書誌] SAKAE FUCHINO: "ON THE WEAK FREESE-NATION PROPERTY OF COMPLETE BOOLEAN ALGEBRAS"ANNALS OF PURE AND APPLIED LOGIC. 110. 89-105 (2001)
[文献書誌] SAKAE FUCHINO: "ON REAL-VALUED MEASURABILITY"京都大学数理解析研究所講究録「公理的集合論」. 1202. 38-60 (2001)
[文献書誌] SAKAE FUCHINO: "加法的関数の連続性について"中部大学工学部紀要. 37. 55-64 (2001)
[文献書誌] SHIZUO KAMO: "PARTITION PROPERTIES ON Pκλ"JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN(予定). 54. 121-131 (2002)

2001 年度 実績報告書

連続体の基数不変量とその応用

研究代表者

BRENDLE JORG 神戸大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (70301851)

研究成果

[文献書誌] JORG BRENDLE: "CARDINAL INVARIANTS OF THE CONTINUUM, A SURVEY"京都大学数理解析研究所講究録「公理的集合論」. 1202. 7-32 (2001)

[文献書誌] JORG BRENDLE: "EVASION AND PREDICTION III, CONSTANT PREDICTION AND DOMINATING REALS"JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN. (近刊予定).

[文献書誌] JORG BRENDLE: "EVASION AND PREDICTION IV, STRONG FORMS OF CONSTANT PREDICTION"ARCHIVE FOR MATHEMATICAL LOGIC. (近刊予定).

[文献書誌] JORG BRENDLE: "RECENT DEVELOPMENTS IN ITERATED FORCING THEORY"COMPLEXITY IN MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE (PROCEEDINGS, VIENNA, 2001). (近刊予定).

[文献書誌] JORG BRENDLE: "MAD FAMILIES AND ITERATION THEORY"LOGIC AND ALGEBRA (PROCEEDINGS, ISTANBUL, 2001). (近刊予定).

[文献書誌] KATSUYA EDA: "TREES, FUNDAMENTAL GROUPS AND HOMOLOGY GROUPS"ANNALS OF PURE AND APPLIED LOGIC. 111. 185-201 (2001)

[文献書誌] KATSUYA EDA: "FUNDAMENTAL GROUPS OF ONE-DIMENSIONAL WILD SPACES AND THE HAWAIIAN EARRING"PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 130. 1515-1522 (2002)

[文献書誌] KATSUYA EDA: "ON HOMOLOGICAL LOCAL CONNECTIVITY"TOPOLOGY AND ITS APPLICATIONS. (近刊予定).

[文献書誌] KATSUYA EDA: "THE NON-COMMUTATIVE SPECKER PHENOMENON IN THE UNCOUNTABLE CASE"JOURNAL OF ALGEBRA. (近刊予定).

[文献書誌] KATSUYA EDA: "THE FUNDAMENTAL GROUPS OF ONE-DIMENSIONAL SPACES AND SPATIAL HOMOMORPHISMS"TOPOLOGY AND ITS APPLICATIONS. (近刊予定).

[文献書誌] KATSUYA EDA: "FREE SUBGROUPS OF FREE COMPLETE PRODUCTS"JOURNAL OF ALGEBRA. (近刊予定).

[文献書誌] SAKAE FUCHINO: "ON THE WEAK FREESE-NATION PROPERTY OF P(ω)"ARCHIVE FOR MATHEMATICAL LOGIC. 40. 425-435 (2001)

[文献書誌] SAKAE FUCHINO: "ON THE WEAK FREESE-NATION PROPERTY OF COMPLETE BOOLEAN ALGEBRAS"ANNALS OF PURE AND APPLIED LOGIC. 110. 89-105 (2001)

[文献書誌] SAKAE FUCHINO: "ON REAL-VALUED MEASURABILITY"京都大学数理解析研究所講究録「公理的集合論」. 1202. 38-60 (2001)

[文献書誌] SAKAE FUCHINO: "加法的関数の連続性について"中部大学工学部紀要. 37. 55-64 (2001)

[文献書誌] SHIZUO KAMO: "PARTITION PROPERTIES ON Pκλ"JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN(予定). 54. 121-131 (2002)

2001 年度実績報告書