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本研究は、多項測度と呼ばれるマルチフラクタル測度の無限差分方程式系、関数方程式系の数学的な理論を整備し、p-進数に拡張されたデジタル和問題へ応用することを目的に進められた。研究代表者と分担者は定期的なセミナーの他、意見交換を密にして本研究に積極的に取り組んだ。その結果、従来様々な手法で研究されてきたデジタル和問題が、多項測度を用いて統一的に扱えること、および、多項測度の分布関数を一般化したフラクタルな関数がデジタル和問題に有効であることを明らかにし、次の成果が得られた。
1.従来のデジタル和問題を、多項測度を用いて解決した。
2.デジットの青報を含んだデジタル和関数に対するデジタル和問題を多項測度を用いて解決した。この結果は他のデジタル和関数の解析に有効な道具となるが、
3.その応用例として、ワードの出現回数のexplicitな表現を与えた。
4.多項測度の分布関数を複素係数に一般化し、対応する無限差分方程式系、関数方程式系を解析し、3の倍数に関するCoquetの和公式の別表現を与えた。
今回の研究では、多項測度の一般化がデジタル和問題に有効であることの一端を解明したに過ぎない。これらのフラクタル測度の無限差分方程式系、関数方程式系の解析と、デジタル和問題への応用に有効な理論の整備・構築は今後の研究を待つことになる。
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