不動点定理を介した非線形関数解析及び凸解析問題の研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 12640157
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 高橋 渉 東京工業大学, 情報理工学研究科, 教授 (40016142)
• 研究分担者: 木内 博文 拓殖大学, 工学部, 助教授 (00251611) ; 谷口 雅治 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (30260623) ; 小島 政和 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 教授 (90092551)
• キーワード: 非線形関数解析学 / 非線形作用素 / 非線形エルゴード定理 / 非線形発展方程式 / 凸解析学 / 不動点理論 / min-max定理 / 非線形変分不等式

研究概要

本研究は「不動点定理を介した非線形関数解析及び凸解析問題の研究」と題して、種々の不動点定理を介して、非線形及び凸解析問題の解の存在と、その近似に関する問題を究明することを目的として研究がなされた。特に非線形発展方程式及び凸最適化問題では、解の存在を仮定して、その解を求めることを非線形エルゴード理論の平均収束法、Mann型及びHalpern型の収束法の考え方を用いて研究し、多くの結果を得た。
制約可能性問題の解への近似法の研究では、凸計画法のこれまでのアイデアを利用し、ハイブリッド法による強収束定理をHilbert空間の場合で得た。ここで得られた可算個の制約可能性問題の解決は、可算個の制約式からなる凸計画問題に応用されるはずである。
非線形変分不等式問題や相補性問題の解の存在と近似法の研究では、単調性をもった非線形作用素の変分不等式問題をHilbert空間とBanach空間の場合で考察し、これまでの非拡大作用素の不動点近似法のアイデアを用いて、新しい結果を得た。特にHilbert空間での変分不等式の解の近似法では使いやすくかつ適用範囲の広い結果を得た。
これまで未解決問題とされていたBanach空間での極大単調作用素に対する0点への近似法の研究では、昨年度はハイブリッド法による強収束定理を得たが、今年度はHalpern型及びMann型の収束定理を得た。またこれを非線形最適化問題の近接点法に応用した。
これらの結果は内外の雑誌に公表され、非常に関心がもたれた。また最近諸外国でたくさん引用されはじめたことを報告しておきたい。これらの成果は予想以上であった。これは夏休みを利用しての大量の文献収集やその整理、ならびにこの問題に興味を持っている他大学の研究者との数多くの研究打ち合わせや討論が功を奏した結果であろうと思われる。

研究成果

• [文献書誌] K.Nakajo, W.Takahashi: "A nonlinear strong ergodic theorem for asymptotically nonexpansive mapping with compact domains"Discrete and Impulsive Systems. 9・2. 257-270 (2002)
• [文献書誌] S.Atsushiba, W.Takahashi: "Strong convergence theorems for nonexpansive semigroups by a hybrid method"J.Nonlinear Convex Anal.. 3・2. 231-242 (2002)
• [文献書誌] M.Amemiya, W.Takahashi: "Fixed point theorems for fuzzy mappings in complete metricspaces"Fuzzy Sets and Systems. 125・2. 253-260 (2002)
• [文献書誌] A.Takeda, K.Fujisawa, Y.Fukaya, M.Kojima: "Parallel Implementation of Successive Convex Relaxation Methods for Quadratic Optimization Problems"Journal of Global Optimization. 24・2. 237-260 (2002)
• [文献書誌] M.Taniguchi: "Instability of planar traveling fronts in bistable reaction-diffusion systems"Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser.B. 3・1. 21-44 (2003)
• [文献書誌] G.E.Kim, H.Kiuchi, W.Takahashi: "Weak and strong convergence theorems for nonexpansive mappings"Scientiae Mathematicae Japonicae. 56・1. 133-141 (2002)
• [文献書誌] W.Takahashi, T.Tanaka: "Nonlinear Analysis and Convex Analysis"Yokohama Publishers. 579 (2003)